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LCP 07. 传递信息

题目

小朋友 A 在和 ta 的小伙伴们玩传信息游戏，游戏规则如下：

1. 有 n 名玩家，所有玩家编号分别为 0 ～ n-1，其中小朋友 A 的编号为 0
2. 每个玩家都有固定的若干个可传信息的其他玩家（也可能没有）。传信息的关系是单向的（比如 A 可以向 B 传信息，但 B 不能向 A 传信息）。
3. 每轮信息必须需要传递给另一个人，且信息可重复经过同一个人

给定总玩家数 n，以及按 [玩家编号,对应可传递玩家编号] 关系组成的二维数组 relation。返回信息从小 A (编号 0 ) 经过 k 轮传递到编号为 n-1 的小伙伴处的方案数；若不能到达，返回 0。

示例 1：

输入：n = 5, relation = [[0,2],[2,1],[3,4],[2,3],[1,4],[2,0],[0,4]], k = 3

输出：3

解释：信息从小 A 编号 0 处开始，经 3 轮传递，到达编号 4。共有 3 种方案，分别是 0->2->0->4， 0->2->1->4， 0->2->3->4。

示例 2：

输入：n = 3, relation = [[0,2],[2,1]], k = 2

输出：0

解释：信息不能从小 A 处经过 2 轮传递到编号 2

限制：

• 2 <= n <= 10
• 1 <= k <= 5
• 1 <= relation.length <= 90, 且 relation[i].length == 2
• 0 <= relation[i][0],relation[i][1] < n 且 relation[i][0] != relation[i][1]

解题思路

方法1 深度优先搜索

/**
 * @param {number} n
 * @param {number[][]} relation
 * @param {number} k
 * @return {number}
 */
var numWays = function(n, relation, k) {
    let ways = 0
    const edges = new Array(n).fill(0).map(() => new Array())
    for (const [src, dst] of relation) {
        edges[src].push(dst)
    }

    const dfs = (index, steps) => {
        if (steps === k) {
            if (index === n - 1) {
                ways++
            }
            return
        }
        const list = edges[index]
        for (const current of list) {
            dfs(current, steps + 1)
        }
    }

    dfs(0, 0)
    return ways
};

复杂度分析

1. 时间复杂度：O(n^k)，最多需要遍历k层，每层遍历最有O(n)个分支
2. 空间复杂度：O(n + m + k)，保存有向图空间O(n + m)，递归调用栈深度不会超过k

方法2 广度优先搜索

/**
 * @param {number} n
 * @param {number[][]} relation
 * @param {number} k
 * @return {number}
 */
var numWays = function(n, relation, k) {
    let ways = 0
    const edges = new Array(n).fill(0).map(() => new Array())
    for (const [src, dst] of relation) {
        edges[src].push(dst)
    }
    
    let steps = 0
    const queue = [0]
    while (queue.length && steps < k) {
        steps++
        const size = queue.length
        for (let i = 0; i < size; i++) {
            const index = queue.shift()
            const list = edges[index]
            for (const nextIndex of list) {
                queue.push(nextIndex)
            }
        }
    }
    if (steps === k) {
        while (queue.length) {
            if (queue.shift() === n - 1) {
                ways++
            }
        }
    }
    return ways
};

复杂度分析

1. 时间复杂度：O(n^k)
2. 空间复杂度：O(n + m + n^k)，保存有向图的空间O(n + m)，遍历到k层时队列的大小O(n^k)

方法3 动态规划

令dp[i][j]表示第i轮时传递到j的方案数

/**
 * @param {number} n
 * @param {number[][]} relation
 * @param {number} k
 * @return {number}
 */
var numWays = function(n, relation, k) {
    const dp = new Array(k + 1).fill(0).map(() => new Array(n).fill(0))
    dp[0][0] = 1
    for (let i = 0; i < k; i++) {
        for (const [src, dst] of relation) {
            dp[i + 1][dst] += dp[i][src]
        }
    }
    return dp[k][n - 1]
};

复杂度分析

1. 时间复杂度：O(km) ，m为relation的长度
2. 空间复杂度：O(kn)

优化

考虑到dp[i + 1][]只与dp[i][]有关，可以使用滚动数组去掉数组第1维度

/**
 * @param {number} n
 * @param {number[][]} relation
 * @param {number} k
 * @return {number}
 */
var numWays = function(n, relation, k) {
    let dp = new Array(n).fill(0)
    dp[0] = 1
    for (let i = 0; i < k; i++) {
        const next = new Array(n).fill(0)
        for (const [src, dst] of relation) {
            next[dst] += dp[src]
        }
        dp = next
    }
    return dp[n - 1]
};

复杂度分析

1. 时间复杂度：O(km)
2. 空间复杂度：O(n)