变分自编码器（VAE）详解与实现（采用TensorFlow2实现）变分自编码器（VAE）属于生成模型家族。VAE的生成器

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VAE介绍

变分自编码器 (Variational Auto-Encoders, VAE) 属于生成模型家族。VAE 的生成器能够利用连续潜在空间的矢量产生有意义的输出。通过潜在矢量探索解码器输出的可能属性。

在 GAN 中，重点在于如何得出近似输入分布的模型。 VAE尝试对可解耦的连续潜在空间中的输入分布进行建模。

在 VAE 中，重点在于潜编码的变分推理。因此，VAE 为潜在变量的学习和有效贝叶斯推理提供了合适的框架。

在结构上，VAE 与自编码器相似。它也由编码器（也称为识别或推理模型）和解码器（也称为生成模型）组成。 VAE 和自编码器都试图在学习潜矢量的同时重建输入数据。但是，与自编码器不同，VAE 的潜在空间是连续的，并且解码器本身被用作生成模型。

VAE原理

在生成模型中，使用神经网络来逼近输入的真实分布：

x \sim P_θ(x) \qquad(1)

其中， $θ$ 表示模型参数。

在机器学习中，为了执行特定的推理，希望找到输入 $x$ 和潜变量 $z$ 之间的联合分布 $P_θ(x,z)$ 。潜变量是对可从输入中观察到的某些属性进行编码。如在人脸数据中，这些可能是面部表情，发型，头发颜色，性别等。

$P_θ(x,z)$ 实际上是输入数据及其属性的分布。 $P_θ(x)$ 可以从边缘分布计算：

P_θ(x)=\int P_θ(x,z)dz \qquad(2)

换句话说，考虑所有可能的属性，最终得到描述输入的分布。在人脸数据中，利用包含面部表情，发型，头发颜色和性别在内的特征，可以恢复描述人脸数据的分布。

问题在于该方程式没有解析形式或有效的估计量。因此，通过神经网络进行优化是不可行的。

使用贝叶斯定理，可以找到方程式(2)的替代表达式：

P_θ(x)=\int P_θ(x|z)P(z)dz \qquad(3)

其中， $P(z)$ 是 $z$ 的先验分布。它不以任何观察为条件。如果 $z$ 是离散的并且 $P_θ(x|z)$ 是高斯分布，则 $P_θ(x)$ 是高斯分布的混合。如果 $z$ 是连续的，则高斯分布 $P_θ(x)$ 无法预估。

在实践中，如果尝试在没有合适的损失函数的情况下建立近似 $P_θ(x|z)$ 的神经网络，它将忽略 $z$ 并得出平凡解， $P_θ(x|z)=P_θ(x)$ 。因此，公式(3)不能提供 $P_θ(x)$ 的良好估计。公式(2)也可以表示为：

P_θ(x)=\int P_θ(z|x)P(x)dz \qquad(4)

但是， $P_θ(z|x)$ 也难以求解。 VAE的目标是找到一个可估计的分布，该分布近似估计 $P_θ(z|x)$ ，即在给定输入 $x$ 的情况下对潜在编码 $z$ 的条件分布的估计。

变分推理

为了使 $P_θ(z|x)$ 易于处理，VAE 引入了变分推断模型（编码器）：

Q_\phi (z|x) \approx P_θ(z|x) \qquad(5)

$Q_\phi (z|x)$ 可很好地估计 $P_θ(z|x)$ 。它既可以参数化又易于处理。可以通过深度神经网络优化参数 $φ$ 来近似 $Q_\phi (z|x)$ 。通常，将 $Q_\phi (z|x)$ 选择为多元高斯分布：

Q_\phi (z|x)=\mathcal N(z;\mu(x),diag(\sigma(x)^2)) \qquad(6)

均值 $\mu(x)$ 和标准差 $\sigma (x)$ 均由编码器神经网络使用输入数据计算得出。对角矩阵表示 $z$ 中的元素间是相互独立的。

VAE核心方程

如果 $Q_\phi (z|x)$ 是 $P_θ(z|x)$ 的估计值，则 Kullback-Leibler(KL)散度确定这两个条件密度之间的距离：

D_{KL}(Q_\phi (z|x) \| P_θ(z|x)) = \mathbb E_{z\sim Q}[logQ_\phi (z|x)-logP_θ(z|x)] \qquad (7)

使用贝叶斯定理：

P_θ(z|x)=\frac{P_θ(x|z)P_θ(z)}{P_θ(x)} \qquad(8)

通过公式(8)改写公式(7)，同时由于 $logP_θ(x)$ 不依赖于 $z\sim Q$ ：

D_{KL}(Q_\phi (z|x) \| P_θ(z|x)) = \mathbb E_{z\sim Q}[logQ_\phi (z|x)-logP_θ(x|z)-logP_θ(z)] + logP_θ(x)\qquad (9)

重排上式并由：

\mathbb E_{z\sim Q}[logQ_\phi (z|x)-logP_θ(z)] = D_{KL}(Q_\phi (z|x) \| P_θ(z)) \qquad (10)

得到：

logP_θ(x)-D_{KL}(Q_\phi (z|x) \| P_θ(z|x)) = \mathbb E_{z\sim Q}[logP_θ(x|z)] - D_{KL}(Q_\phi (z|x) \| P_θ(z))\qquad (11)

上式是 VAE 的核心。左侧项 $P_θ(x)$ ，它最大化地减少了 $Q_\phi (z|x)$ 与真实 $P_θ(z|x)$ 之间距离的差距。对数不会改变最大值（或最小值）的位置。给定一个可以很好地估计 $P_θ(z|x)$ 的推断模型， $D_{KL}(Q_\phi (z|x) \| P_θ(z|x))$ 约为零。

右边的第一项 $P_θ(z|x))$ 类似于解码器，该解码器从推理模型中提取样本以重建输入。

第二项是 $Q_\phi (z|x)$ 与 $P_θ(z)$ 间的 KL 距离。公式的左侧也称为变化下界(evidence lower bound, ELBO)。由于 KL 始终为正，因此 ELBO 是 $logP_θ(x)$ 的下限。通过优化神经网络的参数 $φ$ 和 $θ$ 来最大化 ELBO 意味着：

$D_{KL}(Q_\phi (z|x) \| P_θ(z|x))\to 0$ 或在 $z$ 中对属性 $x$ 进行编码的推理模型得到优化。
右侧的 $logP_θ(x|z)$ 最大化，或者从潜在矢量 $z$ 重构 $x$ 时，解码器模型得到优化。

优化方式

公式的右侧具有有关 VAE 损失函数的两个重要信息。解码器项 $\mathbb E_{z\sim Q}[logP_θ(x|z)]$ 表示生成器从推理模型的输出中获取 $z$ 个样本以重构输入。最大化该项意味着将重建损失 $\mathcal L_R$ 最小化。如果图像（数据）分布假定为高斯分布，则可以使用 MSE。

如果每个像素（数据）都被认为是伯努利分布，那么损失函数就是一个二元交叉熵。

第二项 $- D_{KL}(Q_\phi (z|x) \| P_θ(z))$ ，由于 $Q_\phi$ 是高斯分布。通常 $P_θ(z)=P(z)=\mathcal N(0,1)$ ，也是均值为 $0$ 且标准偏差等于 1.0 的高斯分布。KL 项可以简化为：

- D_{KL}(Q_\phi (z|x) \| P_θ(z))=\frac{1}{2} \sum_{j=0}^J (1+log(\sigma_j)^2-(\mu_j)^2-(\sigma_j)^2)\qquad(12)

其中 $J$ 是 $z$ 的维数。和都是通过推理模型计算得到的关于 $x$ 的函数。要最大化 $-D_{KL}$ ：则 $\sigma_j \to 1$ ， $\mu_j \to 0$ 。 $P(z)=\mathcal N(0,1)$ 的选择是由于各向同性单位高斯分布的性质，可以给定适当的函数将其变形为任意分布。

根据公式(12)，KL 损失 $\mathcal L_{KL}$ 为 $D_{KL}$ 。综上，VAE 损失函数定义为：

\mathcal L_{VAE}=\mathcal L_R + \mathcal L_{KL}\qquad (13)

给定编码器和解码器模型的情况下，在构建和训练VAE之前，还有一个问题需要解决。

重参数化技巧（Reparameterization trick）

下图左侧显示了 VAE 网络。编码器获取输入 $x$ ，并估计潜矢量 $z$ 的多元高斯分布的均值 $μ$ 和标准差 $σ$ 。解码器从潜矢量 $z$ 采样，以将输入重构为 $x$ 。

VAE

但是反向传播梯度不会通过随机采样块。虽然可以为神经网络提供随机输入，但梯度不可能穿过随机层。解决此问题的方法是将“采样”过程作为输入，如图右侧所示。采样计算为：

Sample=\mu + εσ\qquad(14)

如果 $ε$ 和 $σ$ 以矢量形式表示，则 $εσ$ 是逐元素乘法。使用公式(14)，令采样好像直接来自于潜空间。这项技术被称为重参数化技巧。之后在输入端进行采样，可以使用熟悉的优化算法（例如SGD，Adam或RMSProp）来训练VAE网络。

VAE实现

为了便于可视化潜在编码，将 $z$ 的维度设置为 2。编码器仅是两层 MLP，第二层生成均值和对数方差。对数方差的使用是为了简化 KL 损失和重参数化技巧的计算。编码器的第三个输出是使用重参数化技巧进行的 $z$ 采样。在采样函数中， $e^{0.5log\sigma^2}=\sqrt{\sigma^2}=\sigma$ ，因为 $σ> 0$ 是高斯分布的标准偏差。

解码器也是两层 MLP，它对 $z$ 的样本进行采样以近似输入。VAE 网络只是将编码器和解码器连接在一起。损失函数是重建损失和KL损失之和。使用Adam优化器。

重参数技巧

#reparameterization trick
#z = z_mean + sqrt(var) * eps
def sampling(args):
    """Reparameterization trick by sampling
    Reparameterization trick by sampling fr an isotropic unit Gaussian.
    #Arguments:
        args (tensor): mean and log of variance of Q(z|x)
    #Returns:
        z (tensor): sampled latent vector
    """
    z_mean,z_log_var = args
    batch = keras.backend.shape(z_mean)[0]
    dim = keras.backend.shape(z_mean)[1]

    epsilon = keras.backend.random_normal(shape=(batch,dim))
    return z_mean + keras.backend.exp(0.5 * z_log_var) * epsilon

加载数据与超参数

# MNIST 数据集
(x_train, y_train), (x_test, y_test) = keras.datasets.mnist.load_data()

image_size = x_train.shape[1]
original_dim = image_size * image_size
x_train = np.reshape(x_train, [-1, original_dim])
x_test = np.reshape(x_test, [-1, original_dim])
x_train = x_train.astype('float32') / 255
x_test = x_test.astype('float32') / 255

#超参数
input_shape = (original_dim,)
intermediate_dim = 512
batch_size = 128
latent_dim = 2
epochs = 50

VAE模型

#VAE model
#encoder
inputs = keras.layers.Input(shape=input_shape,name='encoder_input')
x = keras.layers.Dense(intermediate_dim,activation='relu')(inputs)
z_mean = keras.layers.Dense(latent_dim,name='z_mean')(x)
z_log_var = keras.layers.Dense(latent_dim,name='z_log_var')(x)

z = keras.layers.Lambda(sampling,output_shape=(latent_dim,),name='z')([z_mean,z_log_var])

encoder = keras.Model(inputs,[z_mean,z_log_var,z],name='encoder')
encoder.summary()
keras.utils.plot_model(encoder,to_file='vae_mlp_encoder.png',show_shapes=True)

#decoder
latent_inputs = keras.layers.Input(shape=(latent_dim,),name='z_sampling')
x = keras.layers.Dense(intermediate_dim,activation='relu')(latent_inputs)
outputs = keras.layers.Dense(original_dim,activation='sigmoid')(x)
decoder = keras.Model(latent_inputs,outputs,name='decoder')
decoder.summary()
keras.utils.plot_model(decoder,to_file='vae_mlp_decoder.png',show_shapes=True)

outputs = decoder(encoder(inputs)[2])
vae = keras.Model(inputs,outputs,name='vae_mpl')

模型训练

if __name__ == '__main__':
    parser = argparse.ArgumentParser()
    help_ = "Load tf model trained weights"
    parser.add_argument("-w", "--weights", help=help_)
    help_ = "Use binary cross entropy instead of mse (default)"
    parser.add_argument("--bce", help=help_, action='store_true')
    args = parser.parse_args()
    models = (encoder, decoder)
    data = (x_test, y_test)
    
    #VAE loss = mse_loss or xent_loss + kl_loss
    if args.bce:
        reconstruction_loss = keras.losses.binary_crossentropy(inputs,outputs)
    else:
        reconstruction_loss = keras.losses.mse(inputs,outputs)
    
    reconstruction_loss *= original_dim
    kl_loss = 1 + z_log_var - keras.backend.square(z_mean) - keras.backend.exp(z_log_var)
    kl_loss = keras.backend.sum(kl_loss,axis=-1)
    kl_loss *= -0.5
    vae_loss = keras.backend.mean(reconstruction_loss + kl_loss)
    vae.add_loss(vae_loss)
    vae.compile(optimizer='adam')
    vae.summary()
    keras.utils.plot_model(vae,to_file='vae_mlp.png',show_shapes=True)
    save_dir = 'vae_mlp_weights'
    if not os.path.isdir(save_dir):
        os.makedirs(save_dir)
    if args.weights:
        filepath = os.path.join(save_dir,args.weights)
        vae = vae.load_weights(filepath)
    else:
        #train
        vae.fit(x_train,
                epochs=epochs,
                batch_size=batch_size,
                validation_data=(x_test,None))
        filepath = os.path.join(save_dir,'vae_mlp.mnist.tf')
        vae.save_weights(filepath)
    plot_results(models,data,batch_size=batch_size,model_name='vae_mlp')

测试经过训练的解码器

在训练了 VAE 网络之后，可以丢弃推理模型。为了生成新的有意义的输出，从用于生成 $ε$ 的高斯分布中抽取样本：

解码器

效果展示

潜矢量可视化

潜矢量可视化

图片生成

图片生成