第五题啦。开始针对语言咧，用 Java 来搞会非常简单~

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题目描述

An undirected graph is a set V of vertices and a set of E∈{V*V} edges.An undirected graph is connected if and only if for every pair (u,v) of vertices,u is reachable from v.

You are to write a program that tries to calculate the number of different connected undirected graph with n vertices.

For example,there are 4 different connected undirected graphs with 3 vertices.

题目输入

The input contains several test cases. Each test case contains an integer n, denoting the number of vertices. You may assume that 1<=n<=50.

The last test case is followed by one zero.

题目输出

For each test case output the answer on a single line.

样例输入

样例输出

解题思路

关键词：容斥原理，组合数，联通分量

计算过程中需要用到三个值：

$total_n$ 由 $n$ 个点组成的图一共有多少种。
$disconnect_n$ 由 $n$ 个点组成且不联通的图一共有多少种。
$connect_n$ 由 $n$ 个点组成且联通的图一共有多少种。

先来思考 $total_n$ 如何计算。

包含 $n$ 个节点的图，最多有 $\frac{n*(n-1)}{2}$ 条边。因无需考虑联调性，所以每条边都可有可无。因此总共可组成 $2^{\frac{n*(n-1)}{2}}$ 种不同的图，记为 $total_n$ 。

再来考虑 $disconnect_n$ 如何计算。

如果图是不联通的，则必有两个或两个以上的联通分量。不妨设第 $n$ 个节点所在的联通分量有 $i$ 个节点。我们从 $n-1$ 个节点中选取 $i-1$ 个节点，来和第 $n$ 个点组成联通分量，因此总共有 $C_{n-1}^{i-1}*connect_{i}$ 种联通分量。对于剩余的 $n-i$ 个点的联通性无需关心，因此:

disconnect_n = \sum_{i = 1}^{n-1}C_{n-1}^{i-1}\ connect_{i}\ total_{n-i}

至于 $connect_n$ 利用容斥原理就很好求啦~

显然三者满足： $connect_n = total_n - disconnect_n$

但是该题的答案巨大，超出64位整数的存储上限，因此对于大多数语言来说，选手需要手动实现大数的加减乘。

或者，偷懒用 Java 的 BigInteger 实验上述计算过程。

import java.math.BigInteger;
import java.util.Scanner;

public class Main {
    static BigInteger quickPower(BigInteger v, int p) {
        if (p == 0) {
            return BigInteger.ONE;
        }
        if (p == 1) {
            return v;
        }
        BigInteger vv = quickPower(v, p / 2);
        return vv.multiply(vv).multiply(quickPower(v, p & 1));
    }
    public static void main(String[] args) {
        BigInteger[] c = new BigInteger[51];
        BigInteger[] d = new BigInteger[51];
        BigInteger[] t = new BigInteger[51];

        BigInteger[][] combine = new BigInteger[51][51];

        for (int i = 0; i <= 50; i++) {
            for (int j = 0; j <= i; j++) {
                if (j == 0 || i == j) {
                    combine[i][j] = BigInteger.ONE;
                } else {
                    combine[i][j] = BigInteger.ZERO.add(combine[i-1][j-1]).add(combine[i-1][j]);
                }
            }
        }

        for (int i = 1; i <= 50; i++) {
            t[i] = quickPower(BigInteger.valueOf(2), i*(i-1)/2);
            d[i] = BigInteger.ZERO;
            for (int j = 1; j < i; j++) {
                d[i] = d[i].add(combine[i-1][j-1].multiply(c[j]).multiply(t[i-j]));
            }
            c[i] = t[i].subtract(d[i]);
        }

        Scanner reader=new Scanner(System.in);
        while (reader.hasNextInt()) {
            int n = reader.nextInt();
            if (n != 0) {
              System.out.println(c[n]);
            }
        }

        return;
    }
}

楼教主男人八题(第五题)