1218. 最长定差子序列 : 结合「贪心」的「序列 DP」运用题「这是我参与11月更文挑战的第 5 天，活动详情查看：

「这是我参与11月更文挑战的第 5 天，活动详情查看：2021最后一次更文挑战」。

题目描述

这是 LeetCode 上的 1218. 最长定差子序列 ，难度为中等。

Tag : 「贪心」、「序列 DP」、「状态机 DP」、「哈希表」

给你一个整数数组 arr 和一个整数 difference，请你找出并返回 arr 中最长等差子序列的长度，该子序列中相邻元素之间的差等于 difference 。

子序列是指在不改变其余元素顺序的情况下，通过删除一些元素或不删除任何元素而从 arr 派生出来的序列。

示例 1：

输入：arr = [1,2,3,4], difference = 1

输出：4

解释：最长的等差子序列是 [1,2,3,4]。

示例 2：

输入：arr = [1,3,5,7], difference = 1

输出：1

解释：最长的等差子序列是任意单个元素。

示例 3：

输入：arr = [1,5,7,8,5,3,4,2,1], difference = -2

输出：4

解释：最长的等差子序列是 [7,5,3,1]。

提示：

$1 <= arr.length <= 10^5$
$-10^4 <= arr[i], difference <= 10^4$

状态机序列 DP + 哈希表

定义 $f[i][j]$ （ $j$ 非 $0$ 即 $1$ ）为代表考虑前 $i$ 个数，且第 $i$ 个数的选择情况为 $j$ 时，得到的最长定差子序列长度。

最终答案为 $\max(f[n - 1][0], f[n - 1][1])$ ，同时我们有显然的初始化条件 $f[0][0] = 0$ 和 $f[0][1] = 1$ 。

不失一般性考虑 $f[i][j]$ 如何转移：

$f[i][0]$ ：明确了第 $i$ 个不选，那么此时最大长度为前一个位置的结果。即有：

f[i][0] = \max(f[i - 1][0], f[i - 1][1])

$f[i][1]$ ：明确了第 $i$ 个要选，此时进行分情况讨论：
- $arr[i]$ 独立成为一个子序列，此时有： $f[i][1] = 1$ ；
- $arr[i]$ 接在某一个数的后面，由于给定了差值 $difference$ ，可直接算得上一位的值为 $prev = arr[i] - difference$ ，此时应当找到值为 $prev$ ，下标最大（下标小于 $i$ ）的位置，然后从该位置转移过来，即有： $f[i][1] = f[hash[prev]][1] + 1$ ;
容易证明：如果存在多个位置的值为 $prev$ ，从中选择一个下标最大的位置（下标小于 $i$ ）进行转移，结果相比于最优位置不会变差。因此我们「贪心」选择下标最大的位置（下标小于 $i$ ）即可，这引导我们在转移过程中使用「哈希表」记录处理过的位置的值信息。

综上，我们有：

f[i][1] = \begin{cases} 1 & hash[arr[i] - difference] = -1 \\ f[hash[prev]][1] + 1 & hash[arr[i] - difference] \neq -1 \end{cases}

代码（使用数组充当哈希表的代码在 $P2$ ）：

class Solution {
    public int longestSubsequence(int[] arr, int d) {
        int n = arr.length;
        Map<Integer, Integer> map = new HashMap<>();
        int[][] f = new int[n][2];
        f[0][1] = 1;
        map.put(arr[0], 0);
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            f[i][0] = Math.max(f[i - 1][0], f[i - 1][1]);
            f[i][1] = 1;
            int prev = arr[i] - d;
            if (map.containsKey(prev)) f[i][1] = Math.max(f[i][1], f[map.get(prev)][1] + 1);
            map.put(arr[i], i);
        }
        return Math.max(f[n - 1][0], f[n - 1][1]);
    }
}

class Solution {
    int N = 40009, M = N / 2;
    public int longestSubsequence(int[] arr, int d) {
        int n = arr.length;
        int[] hash = new int[N];
        Arrays.fill(hash, -1);
        int[][] f = new int[n][2];
        f[0][1] = 1;
        hash[arr[0] + M] = 0;
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            f[i][0] = Math.max(f[i - 1][0], f[i - 1][1]);
            f[i][1] = 1;
            int prev = arr[i] - d;
            if (hash[prev + M] != -1) f[i][1] = Math.max(f[i][1], f[hash[prev + M]][1] + 1);
            hash[arr[i] + M] = i;
        }
        return Math.max(f[n - 1][0], f[n - 1][1]);
    }
}

时间复杂度：令 $n$ 为数组长度，共有 $n * 2$ 个状态需要被计算，每个状态转移的复杂度为 $O(1)$ 。整体复杂度为 $O(n)$
空间复杂度： $O(n)$

优化状态定义

不难发现，我们多定义一维状态来区分某个位置的值是否被选择，目的是为了正确转移出第 $i$ 位被选择的情况。

事实上，利用哈希表本身我们就能轻松做到这一点。

我们调整状态定义为： $f[i]$ 为考虑前 $i$ 个数（第 $i$ 个数必选）时，得到的最长定差子序列长度。

不失一般性考虑 $f[i]$ 该如何转移，分情况讨论：

$arr[i]$ 独立成为一个子序列，此时有： $f[i] = 1$ ；
$arr[i]$ 接在某一个数的后面，由于给定了差值 $difference$ ，可直接算得上一位的值为 $prev = arr[i] - difference$ ，此时应当找到 $arr[j]$ 为 $prev$ 的最新位置（下标最大，同时满足 $j < i$ ）当时的转移结果，在此基础上加一即可，即有： $f[i] = hash[prev] + 1$ ;

综上，我们有（ $hash$ 初始化为 $0$ ）：

f[i] = hash[prev] + 1

代码（使用数组充当哈希表的代码在 $P2$ ）：

class Solution {
    public int longestSubsequence(int[] arr, int d) {
        int ans = 1;
        Map<Integer, Integer> map = new HashMap<>();
        for (int i : arr) {
            map.put(i, map.getOrDefault(i - d, 0) + 1);
            ans = Math.max(ans, map.get(i));
        }
        return ans;
    }
}

class Solution {
    int N = 40009, M = N / 2;
    public int longestSubsequence(int[] arr, int d) {
        int ans = 1;
        int[] hash = new int[N];
        for (int i : arr) {
            hash[i + M] = hash[i - d + M] + 1;
            ans = Math.max(ans, hash[i + M]);
        }
        return ans;
    }
}

时间复杂度：令 $n$ 为数组长度，共有 $n$ 个状态需要被计算，每个状态转移的复杂度为 $O(1)$ 。整体复杂度为 $O(n)$
空间复杂度： $O(n)$

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.1218 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：github.com/SharingSour… 。

在仓库地址里，你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。