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前言

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自我介绍 ଘ(੭ˊᵕˋ)੭

昵称：海轰

标签：程序猿｜C++选手｜学生

简介：因C语言结识编程，随后转入计算机专业，有幸拿过一些国奖、省奖...已保研。目前正在学习C++/Linux/Python

学习经验：扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语！

 

机器学习小白阶段

文章仅作为自己的学习笔记 用于知识体系建立以及复习

知其然 知其所以然！

6.4 线性变换

定义4

设有两个非空集合$A,B$，如果对于$A$中任一元素$\alpha$，按照一定的规则，总有$B$中一个确定的元素$\beta$和它对应

那么，这个规则称为从集合$A$到集合$B$的映射，将上述映射记作$T$，并记

$\beta=T(\alpha) \quad 或 \quad\beta=T\alpha\quad(\alpha \in A,\beta \in B)$

设$\alpha_1\in A,T(\alpha_1)=\beta_1$，意思就是映射$T$把元素$\alpha_1$变为$\beta_1$

• $\beta_1$称为$\alpha_1$在映射$T$下的像
• $\alpha_1$称为$\beta_1$在映射$T$下的源
• $A$称为映射$T$的源集
• 像的全体所构成的集合称为像集，记作$T(A)$，即$T(A)=\{\beta=T(\alpha)｜\alpha \in A\}$，其中有$T(A) \subset B$

定义5：线性变换

设$V_n,U_m$分别是$n$维和$m$维线性空间，T是一个从$V_n$到$U_m$的映射，如果映射$T$满足

（1）任给$\alpha_1,\alpha_2 \in V$，有 $T(\alpha_1+\alpha_2)=T(\alpha_1)+T(\alpha_2)$

（2）任给$\alpha\in V_n,\lambda\in\mathbb{R}$,有 $T(\lambda \alpha)=\lambda T(\alpha)$

那么$T$就称为从$V_n$到$U_m$的线性映射（或线性变换）

---

线性变换具有的一些性质：

（1）$T0=0,T(-\alpha)=-T\alpha$

（2）若$\beta=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+...+k_m\alpha_m$，则$T\beta=k_1T\alpha_1+k_2T\alpha_2+...+k_mT\alpha_m$

（3）若$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m$线性相关，则$T(\alpha_1),T(\alpha_2),...,T(\alpha_m)$也线性相关

注意：若$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m$线性无关，则 $T(\alpha_1),T(\alpha_2),...,T(\alpha_m)$不一定线性无关   举个例子：若$T$变换结果都是零向量，那么就算$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m$，那么最后$T(\alpha_1),T(\alpha_2),...,T(\alpha_m)$都为零元素，也就不线性相关了

（4）线性变换$T$的像集$T(V_n)$是一个线性空间，称为线性变换$T$的像空间

证明：

设$\beta_1,\beta_2\in T(V_n)$

则有

$\beta_1=T(\alpha_1),\beta_2=T(\alpha_2),其中\alpha_1,\alpha_2\in V_n$

证加法运算封闭性：

$\beta_1+\beta_2=T(\alpha_1)+T(\alpha_2)=T(\alpha_1+\alpha_2)\in T(V _n)$

证数乘运算封闭性：

设$\lambda\in \mathbb{R},\beta_1\in T(V_n)$

则有

$\lambda\beta_1=\lambda T(\alpha_1)=T(\lambda\alpha_1)\in T(V_n)$

八条运算也符合，这里不再进行细说

综上，线性变换$T$的像集$T(V_n)$是一个线性空间

（5）使$T\alpha=0$的$\alpha$的全体$S_T=\{\alpha｜\alpha \in V_n,T\alpha=0 \}$也是一个线性空间，$S_T$称为线性变换$T$的核

证明：

证加法运算封闭性：

设$\alpha_1,\alpha_2\in S_T$，有

$T(\alpha_1)=0,T(\alpha_2)=0$

那么

$T(\alpha_1+\alpha_2)=T(\alpha_1)+T(\alpha_2)=0+0=0$

故$(\alpha_1+\alpha_2)\in S_T$

证数乘运算封闭性：

设$\lambda \in \mathbb{R},\alpha_1\in S_T$，有

$T(\lambda\alpha_1)=\lambda T(\alpha)=0$

所以$\lambda\alpha\in S_T$

综上，$S_T$是一个线性空间

举例

例10

设有$n$阶矩阵

其中

定义$\mathbb{R}^n$中的变换$y=T(x)$为

$T(x)=Ax(x\in \mathbb{R}^n)$

试说明$T$为线性变换

注意：$\mathbb{R}^n$为$n×1$维矩阵

---

注意是证明$T$为线性变换，那么需要证明：$T(\alpha_1+\alpha_2)=T(\alpha_1)+T(\alpha_2)、T(\lambda \alpha)=\lambda T(\alpha)$

证明

设$a,b \in \mathbb{R}^n$，则

$T(a+b)=A(a+b)=Aa+Ab=T(a)+T(b)$

$T(\lambda a)=A(\lambda a)=\lambda Aa=\lambda T(a)$

所以$T$为线性变换

补充

那么，有

$T(\mathbb{R}^n)=\{y=x_1a_1+x_2a_2+...+x_na_n｜x_1,x_2,...,x_n\in\mathbb{R}\}$

也就是说：

• 线性变换$T$的像空间其实就是由$a_1,a_2,...,a_n$所生产的向量空间
• $T$的核$S_T$就是齐次线性方程组$Ax=0$的解空间

结语

说明：

• 参考于 课本《线性代数》第五版 同济大学数学系编
• 配合书中概念讲解 结合了自己的一些理解及思考

文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程

希望对您有所帮助，如有错误欢迎小伙伴指正～

我是 海轰ଘ(੭ˊᵕˋ)੭

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