367. 有效的完全平方数 :「二分」&「数学」

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题目描述

这是 LeetCode 上的 367. 有效的完全平方数 ，难度为 简单。

Tag : 「二分」、「数学」

给定一个 正整数 $num$ ，编写一个函数，如果 $num$ 是一个完全平方数，则返回 $true$ ，否则返回 $false$ 。

进阶：不要使用任何内置的库函数，如  sqrt。

示例 1：

输入：num = 16

输出：true

示例 2：

输入：num = 14

输出：false

提示：

• $1 <= num <= 2^{31} - 1$

二分

假如答案为 $ans$，那么以 $ans$ 为分割点的数轴上具有二段性：

• 小于 $ans$ 的一段 $x$ 必然不满足 $x * x \geq num$；
• 大于等于 $ans$ 的一段 $x$ 必然满足 $x * x \geq num$。

因此可以通过「二分」来找到分割点 $ans$。

代码：

class Solution {
    public boolean isPerfectSquare(int num) {
        long l = 0, r = num;
        while (l < r) {
            long mid = l + r + 1 >> 1;
            if (mid * mid <= num) l = mid;
            else r = mid - 1;
        }
        return r * r == num;
    }
}

• 时间复杂度：$O(\log{n})$
• 空间复杂度：$O(1)$

数学

我们知道对于一个完全平方数而言，可以写成如下形式：

因此另外一种做法是对 $num$ 进行不断的奇数试减，如果最终能够减到 $0$，说明 $num$ 可展开成如 $1+3+5+...+(2*n-1)$ 的形式，$num$ 为完全平方数。

代码：

class Solution {
    public boolean isPerfectSquare(int num) {
        int x = 1;
        while (num > 0) {
            num -= x;
            x += 2;
        }
        return num == 0;
    }
}

• 时间复杂度：$O(\sqrt{n})$
• 空间复杂度：$O(1)$

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.367 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

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