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前言
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自我介绍 ଘ(੭ˊᵕˋ)੭
昵称：海轰
标签：程序猿｜C++选手｜学生
简介：因C语言结识编程，随后转入计算机专业，有幸拿过一些国奖、省奖...已保研。目前正在学习C++/Linux/Python
学习经验：扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语！
机器学习小白阶段
文章仅作为自己的学习笔记 用于知识体系建立以及复习
知其然 知其所以然！
6.3 基变换与坐标变换
同一元素在不同的基下有不同的坐标
设α1,...,αn、β1,....,βn是线性空间Vn中的两个基，有
⎩⎨⎧β1=p11α1+p21α2+....+pn1αnβ2=p12α1+p22α2+....+pn2αn........βn=p1nα1+p2nα2+....+pnnαn
使用矩阵形式表示
⎣⎡β1β2...βn⎦⎤=⎣⎡p11p12...p1np21p22...p2n.........pn1pn2...pnn⎦⎤⎣⎡α1α2...αn⎦⎤=PT⎣⎡α1α2...αn⎦⎤
或者
(β1,β2,....,βn)=(α1,α2,...,αn)⎣⎡p11p21..pn1p12p22..pn2.........p1np2n..pnn⎦⎤=(α1,α2,...,αn)P
一般更倾向用后面一种方式表达
α1,α2,...,αn、β1,β2,....,βn都是线性无关的 可以推出P可逆
定理1
设Vn中的元素α，在基α1,α2,...,αn下的坐标为(x1,x2,...,xn)T，在基β1,β2,...,β3下的坐标为(x1′,x2′,...,xn′)。若两个基满足关系式子
(β1,β2,....,βn)=(α1,α2,...,αn)P
则有坐标变换公式
⎣⎡x1x2...xn⎦⎤=P⎣⎡x1′x2′...xn′⎦⎤或⎣⎡x1′x2′...xn′⎦⎤=P−1⎣⎡x1x2...xn⎦⎤
证明：
依据坐标的定义，有
α=(α1,α2,...,αn)⎣⎡x1x2...xn⎦⎤=(β1,β2,...,β3)⎣⎡x1′x2′...xn′⎦⎤
即
(α1,α2,...,αn)⎣⎡x1x2...xn⎦⎤=(β1,β2,...,β3)⎣⎡x1′x2′...xn′⎦⎤
又因为
(β1,β2,....,βn)=(α1,α2,...,αn)P
所以
(α1,α2,...,αn)⎣⎡x1x2...xn⎦⎤=(α1,α2,...,αn)P⎣⎡x1′x2′...xn′⎦⎤
即
⎣⎡x1x2...xn⎦⎤=P⎣⎡x1′x2′...xn′⎦⎤
变形,有
⎣⎡x1′x2′...xn′⎦⎤=P−1⎣⎡x1x2...xn⎦⎤
P是可逆的
结语
说明：
- 参考于 课本《线性代数》第五版 同济大学数学系编
- 配合书中概念讲解 结合了自己的一些理解及思考
文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程
希望对您有所帮助，如有错误欢迎小伙伴指正～
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