考研408总结【数据结构】---树与二叉树（上）

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参考资料： 王道数据结构考研复习指导 天勤数据结构高分笔记

本篇先总结树的基本概念和计算、二叉树的遍历和线索二叉树的内容。

下篇总结树和森林、以及应用（二叉排序树、平衡二叉树、哈夫曼树）的内容。

树的性质

1. 树的结点数等于所有结点的度数加1.

2. 度为m的树中第i层上至多有$m^{i-1}$个结点（i>=1)

3. 高度为h，度为m的树【度为m的树指的是结点最多有m个孩子结点】至多有$\frac{m^{h}-1}{m-1}$个结点. （推导利用等比数列的求和公式）

4. 具有sum个结点，度为m的树的最小高度为$\lceil log_m(sum(m-1)+1) \rceil$ (利用第三个公式逆推得到h，注意是向上取整)

二叉树的性质

1. 二叉树的第i层上至多有$2^{i-1}$个结点

2. 深度为k的二叉树至多有$2^k-1$个结点.

3. 对于一棵非空二叉树，如果叶子节点数为$m_0$,度为2的结点数$m_2$,则有$m_0=m_2+1$ （重点经常在选择题遇到！！！）

4. 具有n个结点的完全二叉树的深度为$\lfloor log_2 n \rfloor+1$

5. 任何一棵完全二叉树中度为1的结点数要么有1个，要么就没有.

二叉树的遍历

下面是三种遍历的递归代码，后续很多题型以此拓展得来。

//二叉树的存储结构
typedef struct BTNode{
    char data;
    struct BTNode *lchild;
    struct BTNode *rchild;
}

//先序遍历 根左右
void preorder(BTNode *p){
    if(p!=NULL){
        Visit(p);//对p进行访问。比如打印p对应的数值
        
        preorder(p->lchild);
        preorder(p->rchild);
    }
}

//中序遍历 左根右
void inorder(BTNode *p){
    if(p!=NULL){
        inorder(p->lchild);
        Visit(p);
        inorder(p->rchild);
    }
}

//后序遍历 左右根
void postorder(BTNode *p){
    if(p!=NULL){
        postorder(p->lchild);
        postorder(p->rchild);
        Visit(p);
    }
}

相关题型

1. 表达式(a-(b+c))*(d/e)存储在一棵以二叉链表为存储结构的二叉树中，编写程序求表达式的值。（提示，左右子树不为空则为表达式，用后序遍历求值，左右子树都为空，则为数值）
2. 求一棵二叉树的深度。（提示左右子树深度最大值＋1）
3. 查找二叉树中等于key的结点是否存在。
4. 根据前和后遍历序列不能确定二叉树
5. 输出先序（中/后）遍历序列中第k个结点的值
6. 使用非递归算法描述先序后序中序代码(利用栈)

下面是层次遍历的代码

//层次遍历
void level(BTNode *p){
    int front,rear;
    BTNode *que[maxSize];  //定义一个循环队列
    front=rear=0;
    BTNode *q;
    if(p!=NULL){
        rear=(rear+1)%maxSize;
        que[rear]=p;                    //根结点入队
        while(front!=rear){
            front=(front+1)%maxSize;
            q=que[front];               //队头结点出队
            Visit(q);
            if(q->lchild!=NULL){        //左子树不空，左子树的根结点入队
                rear=(rear+1)%maxSize;
                que[rear]=q->lchild;
            }
            if(q->rchild!=NULL){        //右子树不空，右子树的根结点入队
                rear=(rear+1)%maxSize;
                que[rear]=q->rchild;
            }
        }
    }
}

线索二叉树

有一棵结点数目为n的二叉树，采用二叉链表的形式存储。二叉链表中存在n+1个空指针域。

可以利用这些空指针进行线索化。

若结点的左子树为空，则该结点的左孩子指针指向其前驱结点。

若结点的右子树为空，则该结点的右孩子指针指向其后继结点。

图片来自Chilan Yuk

【习题】

【2010年408】

【2014年408】

部分内容待补充完善~

如有误，请多指正！