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前言

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自我介绍 ଘ(੭ˊᵕˋ)੭

昵称：海轰

标签：程序猿｜C++选手｜学生

简介：因C语言结识编程，随后转入计算机专业，有幸拿过一些国奖、省奖...已保研。目前正在学习C++/Linux/Python

学习经验：扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语！

 

机器学习小白阶段

文章仅作为自己的学习笔记 用于知识体系建立以及复习

知其然 知其所以然！

6.2 维数、基与坐标

定义2

在线性空间$V$中，如果存在$n$个元素$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$，满足：

• $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$线性无关
• $V$中任一元素$\alpha$总可由$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$线性表示

那么$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$就称为线性空间$V$的一个基，$n$称为线性空间$V$的维数

只含有一个零元素的线性空间没有基，规定它的维数为0

维数为$n$的线性空间称为$n$维线性空间，记作$V$

对于$n$维线空间$V_n$，若知$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$为$V_n$的一个基，则$V_n$可表示为

$V_n=\{\alpha=x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+...+x_n\alpha_n｜x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{R} \}$

即$V_n$是基$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$所生成的线性空间

若$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$是$V_n$的一个基，则对任何$\alpha \in V_n$，都有惟一的一组有序数$x_1,x_2,...,x_n$，使

$\alpha=x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+...+x_n\alpha_n$

反之，任给一组有序数$x_1,x_2,...,x_n$，总有惟一的元素

以上说明$V_n$中的元素$\alpha$与有序数组$(x_1,x_2,...,x_n)^T$之间存在一种一一对应的关系

简单的理解，任何一个向量在空间$V_n$中坐标是惟一的，即向量与坐标是一一对应的

定义3

设$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$是线性空间$V_n$的一个基

对任一元素$\alpha \in V_n$，总有且仅有一组有序数$x_1,x_2,...,x_n$，使

$\alpha=x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+...+x_n\alpha_n$

有序数$x_1,x_2,...,x_n$称为元素$\alpha$在$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$这个基下的坐标，记作

$\alpha=(x_1,x_2,...,x_n)^T$

结语

说明：

• 参考于 课本《线性代数》第五版 同济大学数学系编
• 配合书中概念讲解 结合了自己的一些理解及思考

文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程

希望对您有所帮助，如有错误欢迎小伙伴指正～

我是 海轰ଘ(੭ˊᵕˋ)੭

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