LeetCode 152. 乘积最大子数组【c++/java详细题解】

「这是我参与11月更文挑战的第1天，活动详情查看：2021最后一次更文挑战」。

1、题目

给你一个整数数组 nums ，请你找出数组中乘积最大的连续子数组（该子数组中至少包含一个数字），并返回该子数组所对应的乘积。

示例 1:

输入: [2,3,-2,4]
输出: 6
解释: 子数组 [2,3] 有最大乘积 6。

示例 2:

输入: [-2,0,-1]
输出: 0
解释: 结果不能为 2, 因为 [-2,-1] 不是子数组。

2、思路：

(动态规划) $O(n)$

给你一个整数数组 nums ，让我们找出数组中乘积最大的连续子数组对应的乘积。

样例：

如样例所示，nums = [2,3,-2,4]，连续子数组 [2,3] 有最大乘积 6，下面来讲解动态规划的做法。

状态表示：

f[i]表示以num[i]结尾的连续子数组乘积的最大值。

假设nums数组都是非负数，对于每个以nums[i]结尾的连续子数组，我们有两种选择方式：

• 1、只有nums[i]一个数，那么以num[i]结尾的连续子数组乘积的最大值则为nums[i] ，即f[i] = nums[i]。
• 2、以nums[i]为结尾的多个数连续组成的子数组，那么问题就转化成了以nums[i - 1]结尾的连续子数组的最大值再乘以nums[i]的值，即 f[i] = f[i - 1] * nums[i]。

图示：

最后的结果是两种选择中取最大的一个，因此状态转移方程为： f[i] = max(nums[i], f[i - 1] * nums[i])。

但是nums数组中包含有正数，负数和零，当前的最大值如果乘以一个负数就会变成最小值，当前的最小值如果乘以一个负数就会变成一个最大值，因此我们还需要维护一个最小值。

新的状态表示：

f[i]表示以num[i]结尾的连续子数组乘积的最大值，g[i]表示以num[i]结尾的连续子数组乘积的最小值。

我们先去讨论以nums[i]结尾的连续子数组的最大值的状态转移方程：

• 1、如果nums[i] >= 0，同刚开始讨论的一样，f[i] = max(nums[i], f[i - 1] * nums[i])。
• 2、如果nums[i] < 0，只有nums[i]一个数，最大值为nums[i]。有多个数的话，问题就转化成了以nums[i - 1]结尾的连续子数组的最小值再乘以nums[i](最小值乘以一个负数变成最大值)，即f[i] = max(nums[i], g[i - 1] * nums[i]) 。

图示：

综上，最大值的状态转移方程为： f[i] = max(nums[i], max(f[i - 1] * nums[i], g[i - 1] * nums[i]))。

再去讨论以nums[i]结尾的连续子数组的最小值的状态转移方程：

• 1、如果nums[i] >= 0，同最大值的思考方式一样，只需把max换成min，即g[i] = min(nums[i], g[i - 1] * nums[i])。
• 2、如果nums[i] < 0，只有nums[i]一个数，最小值为nums[i]。有多个数的话，问题就转化成了以nums[i - 1]结尾的连续子数组的最大值再乘以nums[i](最大值乘以一个负数变成最小值)，即f[i] = min(nums[i], f[i - 1] * nums[i]) 。

图示：

综上，最小值的状态转移方程为： g[i] = min(nums[i], min(g[i - 1] * nums[i], f[i - 1] * nums[i]))。

最后的结果就是分别以nums[0]或nums[1]，，，或nums[i]为结尾的连续子数组中取乘积结果最大的。

初始化：

只有一个数nums[0]时，以nums[i]结尾的连续子数组乘积的最大值和最小值都为nums[0]。

时间复杂度分析： 只遍历一次nums数组，因此时间复杂度为$O(n)$，$n$是nums数组的长度。

3、c++代码

class Solution {
public:
    int maxProduct(vector<int>& nums) {
       int n = nums.size(), res = nums[0];
       vector<int>f(n + 1, 0), g(n + 1, 0);
       f[0] = nums[0], g[0] = nums[0];  // 初始化
       for(int i = 1; i < n; i++)
       {
           f[i] = max(nums[i], max(f[i - 1] * nums[i], g[i - 1] * nums[i]));  //乘积最大值
           g[i] = min(nums[i], min(g[i - 1] * nums[i], f[i - 1] * nums[i]));  //乘积最小值
           res = max(res, f[i]);
       }         
       return res;         
    }
};

4、java代码

class Solution {
    public int maxProduct(int[] nums) {
       int n = nums.length, res = nums[0];
       int[] f = new int[n + 1], g = new int [n + 1];
       f[0] = nums[0];  // 初始化
       g[0] = nums[0];
       for(int i = 1; i < n; i++)
       { 
           f[i] = Math.max(nums[i], Math.max(f[i - 1] * nums[i], g[i - 1] * nums[i])); //乘积最大值
           g[i] = Math.min(nums[i], Math.min(g[i - 1] * nums[i], f[i - 1] * nums[i])); //乘积最小值
           res = Math.max(res, f[i]);
       }         
       return res;   
    }
}

原题链接： 152. 乘积最大子数组