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求最大公因数

今天刚刚写到求最大公因数这个编程题，以前也做到过几次，没有把它记下来，今天正好把它写在Typora和博客上，一来方便以后学习，本人也不喜欢用纸质纸记笔记了，二来也熟悉熟悉这个软件。我个人认为只要有数学公式的，写代码就会很方便，毕竟是定理，数学家们证明过的，比较有权威性，所以我们直接拿来用就好了。

最大公约数基本概念：如果数a能被数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。约数和倍数都表示一个整数与另一个整数的关系，不能单独存在。如只能说16是某数的倍数，2是某数的约数，而不能孤立地说16是倍数，2是约数。

"倍"与"倍数"是不同的两个概念，"倍"是指两个数相除的商，它可以是整数、小数或者分数。"倍数"只是在数的整除的范围内，相对于"约数"而言的一个数字的概念，表示的是能被某一个自然数整除的数。

几个整数中公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。

辗转相除法: 辗转相除法：辗转相除法是求两个自然数的最大公约数的一种方法，也叫欧几里德算法。

定理：gcd（a，b）= gcd（b，a % b）证明：（a|b是整除的意思） gcd(a,b) = gcd(b,a % b) (不妨设a>b 且r=a mod b ,r不为0) a可以表示成a = kb + r（a，b，k，r皆为正整数），则r = a %b

假设d是a,b的一个公约数，记作d|a,d|b，即a和b都可以被d整除。而r = a - kb，两边同时除以d，r/d=a/d-kb/d=m，等式左边可知m为整数，因此d|r 因此d也是（b,a % b）的公约数

因此（a,b）和（b,a % b）的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。


int GCD(int a, int b)
{
    while (b != 0)
    {
        int r = a % b;
        a = b;
        b = r;
    }
    return a;
}

int main()
{
    int a = 0;
    int b = 0;
    scanf("%d %d", &a, &b);
    int gcd = GCD(a,b);
    printf("%d",gcd);
    return 0;
}

更相减损法: 更相减损法：也叫更相减损术，是出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法，它原本是为约分而设计的，但它适用于任何需要求最大公约数的场合。

第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。

第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。

则第一步中约掉的若干个2的积与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。

其中所说的“等数”，就是公约数。求“等数”的办法是“更相减损”法。

证明：gcd(x,y)=gcd(x,y-x)。设gcd(x,y)=d，则满足x=k1d，y=k2d，易得k1与k2互质。

情况1：x=y。显然，gcd(x,y)=x=gcd(x,0)=gcd(x,y-x)。

情况2：不妨令x

用反证法。

假设k1,(k2 - k1)不互质，

令gcb(k1.k2-k1) = m(m为正整数且m>1);

k1 = ma,k2 - k1 = mb

k2 = (a+b)m

即k1,k2有公约数m，与k1,k2互质矛盾

所以假设不成立

即k1,(k2 - k1)互质

所以gcb（x,x-y) = d = gcb(x,y)

综上，gcd(x,y)=gcd(x,y-x)。


int GCD(int a, int b)
{
    if (a < b)
    {
        a = a ^ b;
        b = a ^ b;
        a = a ^ b;
    }
    while (b != 0)
    {
        a -= b;
        if (a < b)
        {
            a = a ^ b;
            b = a ^ b;
            a = a ^ b;
        }
    }
    return a;

}

int main()
{
    int a = 0;
    int b = 0;
    scanf("%d %d",&a,&b);
    int gcd = GCD(a, b);
    printf("%d",gcd);

    return 0;
}

之后其他的解法就没什么公式了（质因数分解法，短除法，没看到像上面那样的公式）也可能是我自己没看到。