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自我介绍 ଘ(੭ˊᵕˋ)੭

昵称：海轰

标签：程序猿｜C++选手｜学生

简介：因C语言结识编程，随后转入计算机专业，有幸拿过一些国奖、省奖...已保研。目前正在学习C++/Linux/Python

学习经验：扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语！

 

机器学习小白阶段

文章仅作为自己的学习笔记 用于知识体系建立以及复习

知其然 知其所以然！

6.1 线性空间的定义与性质

定义1：线性空间

设$V$是一个非空集合，$\mathbb{R}$为实数域

如果对于任意两个元素$\alpha,\beta \in V$，总有惟一的一个元素$\gamma \in V$与之对应，称为$\alpha$与$\beta$的和，记作$\gamma=\alpha+ \beta$

对于任一数$\lambda\in \mathbb{R},\alpha \in V$，总有惟一的一个元素$\delta\in V$与之对应，称为$\lambda$与$\alpha$的积，记作$\delta=\lambda \alpha$

并且这两种运输满足八条运算规律：

1. $\alpha+\beta=\beta+\alpha$
2. $(\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma)$
3. 在$V$中存在零元素$\boldsymbol0$，对任何$\alpha\in V$，都有$\alpha+\boldsymbol0=\alpha$
4. 对任何$\alpha \in V$,都有$\alpha$的负元素$\beta \in V$，使$\alpha+\beta=\boldsymbol0$
5. $1\alpha=\alpha$
6. $\lambda(\mu\alpha)=(\lambda \mu)\alpha$
7. $(\lambda+\mu)\alpha=\lambda \alpha+\mu\alpha$
8. $\lambda(\alpha+\beta)=\lambda \alpha+\lambda\beta$

注：$\alpha,\beta,\gamma \in V;\lambda,u\in \mathbb{R}$

那么$V$就称为实数域$\mathbb{R}$上的向量空间（或线性空间）

简言之

• 凡是满足上面八条规律的加法和乘法运算，就称为线性运算
• 凡是定义了线性运算的集合，就称为向量空间

线性空间的性质

性质1

零元素是惟一的

证明（反证法）

假设存在两个零元素$0_1,0_2 \in V$

依据零元素的定义，有

得到

$0_1=0_2$

即可说明零元素是惟一的

性质2

任意元素的负元素是惟一的，$\alpha$的负元素记作$-\alpha$

证明（反证法）

假设$\alpha \in V$有两个负元素，记作$\beta,\gamma$

依据负元素的定义，有

又

$\beta=\beta+0=\beta+(\alpha+\gamma)=(\beta+\alpha)+\gamma=0+\gamma=\gamma$

即

$\beta=\gamma$

综上，任意元素的负元素是惟一的

性质3

$（1）0\alpha=\boldsymbol0$ $（2）(-1)\alpha=-\alpha$ $（3）\lambda \boldsymbol0=\boldsymbol0$

证（1）

$\alpha+0\alpha=1\alpha+0\alpha=(1+0)\alpha=\alpha$

得到

$0\alpha=\boldsymbol0$

证（2）

$\alpha+(-1)\alpha=(1-1)\alpha=\boldsymbol0$

依据负元素的定义，得到

$(-1)\alpha=-\alpha$

证（3）

$\lambda \boldsymbol0=\lambda(\alpha+(-1)\alpha)=\lambda\alpha+(-\lambda)\alpha=(\lambda+(-\lambda))\alpha=0\alpha=\boldsymbol0$

即

$\lambda \boldsymbol0=\boldsymbol0$

性质4

如果$\lambda \alpha=\boldsymbol0$，则$\lambda=0$或$\alpha=\boldsymbol0$

证明

（1）证充分性：

当$\lambda=0$时，$\lambda \alpha=\boldsymbol0$

当$\lambda\neq0$时，

等式$\lambda \alpha=\boldsymbol0$两边乘$\frac{1}{\lambda}$，得

$\frac{1}{\lambda}(\lambda \alpha)=\frac{1}{\lambda}\boldsymbol0=\boldsymbol0$

又因为

$\frac{1}{\lambda}(\lambda \alpha)=(\frac{1}{\lambda}\lambda)\alpha=1\alpha=\alpha$

推出

$\alpha=\boldsymbol0$

（2）证必要性：

由$\lambda=0$或$\alpha=\boldsymbol0$

很容易得到$\lambda \alpha=\boldsymbol0$

综上，如果$\lambda \alpha=\boldsymbol0$，则$\lambda=0$或$\alpha=\boldsymbol0$

举例

例1

说明$P[x]_n$为向量空间，其中$P[x]_n$表示次数不超过n的多项式的全体

$P[x]_n=\{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0|a_n,...,a_1,a_0 \in \mathbb{R} \}$

---

证明

证加法运算封闭性：

设

$\alpha\in P[x]_n,\beta\in P[x]_n$

有

$\alpha + \beta \in P[x]_n$

$\alpha + \beta$中的任意一项的次数都不会超过$n$，所以结果也是属于$P[x]_n$

证数乘运算封闭性：

设

$k\in \mathbb{R},\alpha \in P[x]_n$

有

$k\alpha \in P[x]_n$

数乘运算不会使得$P[x]_n$的最高次数超过n，所得结果也是在$P[x]_n$中

多项式的加法、数乘运算满足线性运算规律，即八条运算规律，这里就不再细说了

综上，$P[x]_n$为向量空间

例2

说明$Q[x]_n$为向量空间，其中$Q[x]_n$表示为

$Q[x]_n=\{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0|a_n,...,a_1,a_0 \in \mathbb{R}，且a_n\neq0 \}$

---

证明

证加法运算封闭性：

设

$\alpha \in Q[x]_n,\beta \in Q[x]_n$

有

$\alpha + \beta \in Q[x]_n$

证数乘运算封闭性：

设

$k\in \mathbb{R},\alpha \in Q[x]_n$

得到 $k\alpha$不一定属于$Q[x]_n$

特殊情况是当$k=0$时

$k\alpha=0\alpha=0$

注意$Q[x]_n$定义中$a_n\neq0$ ，说明$Q[x]_n$一定是非零的

所以数乘运算不封闭

综上，$Q[x]_n$不是向量空间

例5

正实数的全体，记作$\mathbb{R}^+$，在其中定义加法及数乘运算为

试验证$\mathbb{R}^+$对上述加法与数乘运算构成线性空间

证明

证加法运算封闭性：

对任意$a,b\in\mathbb{R}^+$，都有

$a\oplus b=ab \in \mathbb{R}^+$

证数乘运算封闭性：

对任意$\lambda\in \mathbb{R},a\in \mathbb{R^+}$，有

$\lambda \odot a=a^{\lambda}\in \mathbb{R^+}$

证八条运算规律：

这里就不一一证明了，结果是八条运算规律都满足

但需要注意的是

此时的零元素是1

即对任意$a \in \mathbb{R^+}$，有$a\oplus1=a$

只需要按照负元素、零元素的定义，然后根据我们自定义的运算规则进行求解即可

小结

（1）证明一个集合是否构成向量空间，肯定是不能只去验证加法、数乘运算的封闭性

（2）当所定义的加法和数乘运算不是通常的实数间的加法和数乘运算，则还需要证明是否满足八条线性运算规律

（3）证明惟一性时，可以使用反证法，假设同时存在多个元素，再证明这几个元素相等。

结语

说明：

• 参考于 课本《线性代数》第五版 同济大学数学系编
• 配合书中概念讲解 结合了自己的一些理解及思考

文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程

希望对您有所帮助，如有错误欢迎小伙伴指正～

我是 海轰ଘ(੭ˊᵕˋ)੭

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