回溯算法框架总结

HSHS
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基本介绍

回溯法思路的简单描述是：把问题的解空间转化成了图或者树的结构表示，然后使用深度优先搜索策略进行遍历，遍历的过程中记录和寻找所有可行解或者最优解。

废话不多说，直接上回溯算法框架。解决一个回溯问题，实际上就是一个决策树的遍历过程。你只需要思考 3 个问题：

1、 路径：也就是已经做出的选择。

2、选择列表：也就是你当前可以做的选择。

3、结束条件：也就是到达决策树底层，无法再做选择的条件。

如果你不理解这三个词语的解释，没关系，我们后面会用「全排列」和「N 皇后问题」这两个经典的回溯算法问题来帮你理解这些词语是什么意思，现在你先留着印象。

代码方面，回溯算法的框架：

result = []
public void backtrack(路径, 选择列表) {
    if 满足结束条件:
        result.add(路径)
        return

    for 选择 in 选择列表:
        做选择
        backtrack(路径, 选择列表)
        撤销选择
}

其核心就是 for 循环里面的递归，在递归调用之前「做选择」，在递归调用之后「撤销选择」，特别简单。

什么叫做选择和撤销选择呢，这个框架的底层原理是什么呢？下面我们就通过「全排列」这个问题来解开之前的疑惑，详细探究一下其中的奥妙！

全排列问题

关于全排列，我们知道最简单的就是进行穷举，那么我们当时是怎么穷举全排列的呢？比方说给三个数[1,2,3]，你肯定不会无规律地乱穷举，一般是这样：

先固定第一位为 1，然后第二位可以是 2，那么第三位只能是 3；然后可以把第二位变成 3，第三位就只能是 2 了；然后就只能变化第一位，变成 2，然后再穷举后两位……

其实这就是回溯算法，我们高中无师自通就会用，或者有的同学直接画出如下这棵回溯树：

image.png

只要从根遍历这棵树，记录路径上的数字，其实就是所有的全排列。我们不妨把这棵树称为回溯算法的「决策树」。

为啥说这是决策树呢，因为你在每个节点上其实都在做决策。比如说你站在下图的红色节点上：

image.png

你现在就在做决策，可以选择 1 那条树枝，也可以选择 3 那条树枝。为啥只能在 1 和 3 之中选择呢？因为 2 这个树枝在你身后，这个选择你之前做过了，而全排列是不允许重复使用数字的。

现在可以解答开头的几个名词：[2]就是「路径」，记录你已经做过的选择；[1,3]就是「选择列表」，表示你当前可以做出的选择；「结束条件」就是遍历到树的底层，在这里就是选择列表为空的时候。

如果明白了这几个名词，可以把「路径」和「选择 列表 」作为决策树上每个节点的属性，比如下图列出了几个节点的属性：

image.png

我们定义的backtrack函数其实就像一个指针，在这棵树上游走，同时要正确维护每个节点的属性，每当走到树的底层，其「路径」就是一个全排列。

现在，你是否理解了回溯算法的这段核心框架？

for 选择 in 选择列表:
    # 做选择
    将该选择从选择列表移除
    路径.add(选择)
    backtrack(路径, 选择列表)
    # 撤销选择
    路径.remove(选择)
    将该选择再加入选择列表

我们只要在递归之前做出选择，在递归之后撤销刚才的选择，就能正确得到每个节点的选择列表和路径。

下面，直接看全排列代码：

class Solution {
    //存储返回结果
    List<List<Integer>> result=new ArrayList<>();
    public List<List<Integer>> permute(int[] nums) {
        //定义一个List存放每一个满足条件的结果
        LinkedList<Integer> track = new LinkedList<>();
        backTrack(nums,track);
        return result;
    }

    public void backTrack(int[] nums,LinkedList<Integer> track){
        if(track.size() == nums.length) {
            // 触发结束条件
            result.add(new ArrayList<>(track));
            return;
        }
        for(int i = 0; i < nums.length; i++) {
            // 排除不合法的选择
            if(track.contains(nums[i])) {
                continue;
            }
            //做出选择
            track.add(nums[i]);
            //递归下一层决策树下一层节点
            backTrack(nums, track);
            //回溯，即撤销选择
            track.removeLast();
        }
    }
}

我们这里稍微做了些变通，没有显式记录「选择列表」，而是通过nums和track推导出当前的选择列表：

image.png

N 皇后问题

image.png

这个问题很经典了，简单解释一下：给你一个 N×N 的棋盘，让你放置 N 个皇后，使得它们不能互相攻击。皇后可以攻击同一行、同一列、左上左下右上右下四个方向的任意单位。

这是 N = 8 的一种放置方法：

image.png

这个问题本质上跟全排列问题差不多，决策树的每一层表示棋盘上的每一行；每个节点可以做出的选择是，在该行的任意一列放置一个皇后。直接套用框架:

class Solution {
    public List<List<String>> solveNQueens(int n) {
        List<List<String>> solutions = new ArrayList<List<String>>();
        int[] queens = new int[n];
        //初始化每一列为-1，因为已经定好每一行放一个皇后了
        Arrays.fill(queens, -1);
        //存放哪些列上面已经放置了皇后了
        Set<Integer> columns = new HashSet<Integer>();
        Set<Integer> diagonals1 = new HashSet<Integer>();
        Set<Integer> diagonals2 = new HashSet<Integer>();
        backtrack(solutions, queens, n, 0, columns, diagonals1, diagonals2);
        return solutions;
    }

    public void backtrack(List<List<String>> solutions, int[] queens, int n, int row, Set<Integer> columns, Set<Integer> diagonals1, Set<Integer> diagonals2) {
        //结束条件
        if (row == n) {
            //结果处理
            List<String> board = generateBoard(queens, n);
            solutions.add(board);
            return;
        }
        //遍历每一列
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            //同一列上不能存在两个皇后
            if (columns.contains(i)) {
                continue;
            }
            //当前存放位置的左上和右上不能有皇后
            int diagonal1 = row - i;
            if (diagonals1.contains(diagonal1)) {
                continue;
            }
            //当前存放位置的左下和右下不能有皇后
            int diagonal2 = row + i;
            if (diagonals2.contains(diagonal2)) {
                continue;
            }

            //做选择，row行的皇后放在i列上
            queens[row] = i;
            columns.add(i);
            diagonals1.add(diagonal1);
            diagonals2.add(diagonal2);

            //往下一层决策树递归
            backtrack(solutions, queens, n, row + 1, columns, diagonals1, diagonals2);

            //撤销选择
            queens[row] = -1;
            columns.remove(i);
            diagonals1.remove(diagonal1);
            diagonals2.remove(diagonal2);
        }
    }

    public List<String> generateBoard(int[] queens, int n) {
        List<String> board = new ArrayList<String>();
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            char[] row = new char[n];
            Arrays.fill(row, '.');
            row[queens[i]] = 'Q';
            board.add(new String(row));
        }
        return board;
    }
}

函数backtrack依然像个在决策树上游走的指针，每个节点就表示在board[row][col]上放置皇后，通过isValid函数可以将不符合条件的情况剪枝：

image.png

有的时候，我们并不想得到所有合法的答案，只想要一个答案，怎么办呢？比如解数独的算法，找所有解法复杂度太高，只要找到一种解法就可以。

其实特别简单，只要稍微修改一下回溯算法的代码即可：

// 函数找到一个答案后就返回 true
bool backtrack(vector<string>& board, int row) {
    // 触发结束条件
    if (row == board.size()) {
        res.push_back(board);
        return true;
    }
    ...
    for (int col = 0; col < n; col++) {
        ...
        board[row][col] = 'Q';

        if (backtrack(board, row + 1))
            return true;

        board[row][col] = '.';
    }

    return false;
}

这样修改后，只要找到一个答案，for 循环的后续递归穷举都会被阻断。也许你可以在 N 皇后问题的代码框架上，稍加修改，写一个解数独的算法？

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