「前端刷题」62. 不同路径

小知识，大挑战！本文正在参与“程序员必备小知识”创作活动。

题目

一个机器人位于一个 m x n网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

 

示例 1：

**输入：**m = 3, n = 7 **输出：**28

示例 2：

**输入：**m = 3, n = 2 **输出：**3 解释： 从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。

1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：

**输入：**m = 7, n = 3 **输出：**28

示例 4：

**输入：**m = 3, n = 3 **输出：**6

 

提示：

• 1 <= m, n <= 100
• 题目数据保证答案小于等于 2 * 109

递归 · 深度优先搜索

解题思路

• 从[0, 0]到[m - 1, n - 1]，每次i + 1或j + 1。直到越界或到达，到达路线数+1

代码

var uniquePaths = function(m, n, i = 0, j = 0) {
    return i === m - 1 && j === n - 1 ? 1 : i === m || j === n ? 0 : uniquePaths(m, n, i + 1, j) + uniquePaths(m, n, i, j + 1)
};

结果

测试用例19, 13超时

递归 · 记忆化

解题思路

• 以递归函数变化的形参 i j为键名构造缓存函数。哈希表记忆已到过节点后面路线数

代码

var uniquePaths = function(m, n, i = 0, j = 0, h = new Map, t, t1) {
    return i === m - 1 && j === n - 1 ? 1 : i === m || j === n ? 0 : h.has(t = i * 100 + j) ? h.get(t) : (h.set(t, (t1 = uniquePaths(m, n, i + 1, j, h) + uniquePaths(m, n, i, j + 1, h))), t1)
};

结果

动态规划

解题思路

• dp[i][j]到达点[i, j]路径数，dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]
• 已知到i === 0首行，j === 0首列上的点路径数都为1

代码

初始赋值

var uniquePaths = function(m, n, dp = Array.from({length: m}, _ => new Uint32Array(n))) {
    for(var i = 0; i < m; i++) dp[i][0] = 1
    for(var j = 0; j < n; j++) dp[0][j] = 1
    for(var i = 1; i < m; i++)
        for(var j = 1; j < n; j++)
            dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]
    return dp[m - 1][n - 1]
};

3元判断

var uniquePaths = function(m, n, dp = Array.from({length: m}, _ => new Uint32Array(n))) {
    for(var i = 0; i < m; i++)
        for(var j = 0; j < n; j++)
            dp[i][j] = i === 0 || j === 0 ? 1 : dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]
    return dp[m - 1][n - 1]
};

结果

动态规划 · 降维

解题思路

• 遍历行，dp[j]到列j路径数。扫描列：本行dp[j] = 上行dp[j] ↓ + 左列dp[j - 1]→
• 遍历列，dp[i]到行i路径数。扫描行：本列dp[i] = 左列dp[i]→ + 上行dp[i - 1]↓

代码

遍历行，扫描列，直到第m \- 1行的第n \- 1列，即点[m \- 1, n \- 1]

var uniquePaths = function(m, n, dp = new Uint32Array(n).fill(1)) {
    for(var i = 1; i < m; i++) for(var j = 1; j < n; j++) dp[j] = dp[j] + dp[j-1]
    return dp[n - 1] // 即 dp[dp.length - 1]
};

var uniquePaths = function(m, n, dp = new Uint32Array(n).fill(1), i = 0) {
    while(j = 0, ++i < m) while(++j < n) dp[j] += dp[j - 1]
    return dp[n - 1]
};

遍历列，扫描行，直到第n \- 1列的第m \- 1行，即点[m \- 1, n \- 1]

var uniquePaths = function(m, n, dp = new Uint32Array(m).fill(1)) {
   for(var j = 1; j < n; j++) for(var i = 1; i < m; i++) dp[i] = dp[i] + dp[i-1]
   return dp[m - 1] // 即 dp[dp.length - 1]
};` 

`var uniquePaths = function(m, n, dp = new Uint32Array(m).fill(1), j = 0) {
    while(i = 0, ++j < n) while(++i < m) dp[i] += dp[i - 1]
    return dp[m - 1]
};

结果

组合

解题思路

• 从[0, 0]走到[m, n]，只能向右或向下，总步数 m - 1 + n - 1 = m + n - 2步
• 向右走m - 1步时，一定向下走n - 1步。从总步数选m - 1或n - 1种组合都行
• 以选m - 1为例：
  • C(m + n - 2, m - 1) = (m + n - 2)! / (m - 1)! * (n - 1)! =
    (m + n - 2) * (m + n - 1) ... m * （m - 1 * m - 2 ... 1）
    —————————————————————— =
    (m - 1 * m - 2 ... 1) * (n - 1)!
    (m + n - 2) * (m + n - 1) ... m
    —————————————————————— =
    (n - 1)!
    ｍ起，每次加1 到 m + n - 2，累乘n - 1次
    —————————————————————— =
    1起，每次加1 到 n - 1， 累乘n - 1次

代码

选m \- 1

var uniquePaths = function(m, n, r = 1, i = m, j = 1) {
    while(j < n) r = r * i++ / j++ | 0
    return r
};

选n \- 1

var uniquePaths = function(m, n, r = 1, i = n, j = 1) {
    while(j < m) r = r * i++ / j++ | 0
    return r
};

结果