小知识，大挑战！本文正在参与“程序员必备小知识”创作活动。

前言

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自我介绍 ଘ(੭ˊᵕˋ)੭

昵称：海轰

标签：程序猿｜C++选手｜学生

简介：因C语言结识编程，随后转入计算机专业，有幸拿过一些国奖、省奖...已保研。目前正在学习C++/Linux/Python

学习经验：扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语！

机器学习小白阶段

文章仅作为自己的学习笔记用于知识体系建立以及复习

知其然知其所以然！

5.7 正定二次型

二次型的标准型不是惟一的，只是标准形中所含的项数是确定的（即二次型的秩）

定理9：惯性定理

设有二次型 $f=x^TAx$ ，它的秩为 $r$ ，有两个可逆变换

$x=Cy、x=Pz$

使

$f=k_1y_1^2+k_2y_2^2+....+k_ry_r^2(k_i\neq0)$

和

$f=\lambda_1z_1^2+\lambda_2z_2^2+...+\lambda_rz_r^2(\lambda_i\neq0)$

则 $k_1,...,k_r$ 中正数的个数与 $\lambda_1,....,\lambda_r$ 中正数的个数相等

二次型的标准型中正系数的个数称为二次型的正惯性系数，负系数的个数称为负惯性系数

若二次型 $f$ 的正惯性系数指数为 $p$ ，秩为 $r$ ，则 $f$ 的规范形可确定为

$f=y_1^2+...+y_p^2-y_{p+1}^2-...-y_r^2$

定义10

设有二次型 $f(x)=x^TAx$

如果对任何 $x\neq0$ ，都有 $f(x)>0$ ，则称 $f$ 为正定二次型，并称对称阵A是正定的
如果对任何 $x\neq0$ ，都有 $f(x)<0$ ，则称 $f$ 为负定二次型，并称对称阵 $A$ 是负定的

定理10

$n$ 元二次型 $f=x^TAx$ 为正定的充分必要条件是：它的标准型的 $n$ 个系数全为正，即它的规范形的 $n$ 个系数全为1，亦即它的正惯性指数等于 $n$

推论

对称阵 $A$ 为正定的充分必要条件是： $A$ 的特征值全为正

定理11：赫尔维茨定理

对称阵 $A$ 为正定的充分必要条件是：A的各阶主子式都为正，即

在这里插入图片描述对称正 $A$ 为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即

在这里插入图片描述

举例

例17

判定二次型 $f=-5x^2-6y^2-4z^2+4xy+4xz$ 的正定性

解答：

二次型 $f$ 的矩阵 $A$ 为

A=\begin{bmatrix} -5 & 2 & 2\\ 2 & -6 & 0\\ 2 & 0 & -4 \end{bmatrix}

一阶主子式

$|a_{11}|=-5<0$

二阶主子式

\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -5 & 2\\ 2 & -6 \end{vmatrix}=26>0

三阶主子式

\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -5 & 2 & 2\\ 2 & -6 & 0\\ 2 & 0 & -4 \end{vmatrix}=-80<0

发现一阶、三阶都为负，二阶为正

根据定理11：赫尔维茨定理，得到

$f$ 是负定二次型

结语

说明：

参考于课本《线性代数》第五版同济大学数学系编
配合书中概念讲解结合了自己的一些理解及思考

文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程

希望对您有所帮助，如有错误欢迎小伙伴指正～

我是 海轰ଘ(੭ˊᵕˋ)੭

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