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标签：程序猿｜C++选手｜学生

简介：因C语言结识编程，随后转入计算机专业，有幸拿过一些国奖、省奖...已保研。目前正在学习C++/Linux/Python

学习经验：扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语！

机器学习小白阶段

文章仅作为自己的学习笔记用于知识体系建立以及复习

知其然知其所以然！

5.6 用配方法化二次型为标准形

除了用正交变换将二次型转换为标准型，还可以用拉格朗日配方法。

题目一

化二次型

$f=x_1^2+2x_2^2+5x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+6x_2x_3$

为标准型，并求所用的变换矩阵

解答：

$f=x_1^2+2x_2^2+5x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+6x_2x_3\\ \quad \\ \quad =(x_1+x_2+x_3)^2-x_2^2-x_3^2-2x_2x_3+2x_2^2+5x_3^2+6x_2x_3\\ \quad \\ \quad=(x_1+x_2+x_3)^2+x_2^2+4x_2x_3+4x_3^2\\ \quad \\ \quad =(x_1+x_2+x_3)^2+(x_2+2x_3)^2$

令

\begin{cases} y_1=x_1+x_2+x_3\\ y_2=x_2+2x_3\\ y_3=x_3 \end{cases}

即

\begin{cases} x_1=y_1-y_2+y_3\\ x_2=y_2-2y_3\\ x_3=y_3 \end{cases}

就可以把 $f$ 化为标准形 $f=y_1^2+y_2^2$ ，所用的变换矩阵为

C=\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1\\ 0 & 1 & -2\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}(|C|=1\neq0)

题目二

化二次型

$f=2x_1x_2+2x_1x_3-6x_2x_3$

为规范形，并求所用的变换矩阵

解答：

观察 $f$ ，发现不含有平方项，含有 $x_1x_2$ 乘积项

令

\begin{cases} x_1=y_1+y_2\\ x_2=y_1-y_2\\ x_3=y_3 \end{cases}

得到标准形

$f=2y_1^2-2y_2^2-4y_1y_3+8y_2y_3$

配方得

$f=2(y_1-y_3)^2-2(y_2-2y_3)^2+6y_3^2$

再将其化为规范形

令

\begin{cases} z_1=\sqrt{2}(y_1-y_3)\\ z_2=\sqrt{2}(y_2-2y_3)\\ z_3=\sqrt{6}y_3 \end{cases}

即

\begin{cases} y_1=\frac{1}{\sqrt{2}}z_1+\frac{1}{\sqrt{6}}z_3\\ y_2=\frac{1}{\sqrt{2}}z_2+\frac{2}{\sqrt{6}}z_3\\ y_3=\frac{1}{\sqrt{6}}z_3 \end{cases}

得到规范形

$f=z_1^2-z_2^2+z_3^2$

所用的变换矩阵为

C=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\ 1 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{2}{\sqrt{6}} \\ 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{6}} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{3}{\sqrt{6}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}}\\ 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{6}} \end{bmatrix}(|C|\neq-\frac{1}{6})

总结：

通过平方项进行配方，没有平方项就创造平方项，之后不断进行配方，是可以将二次形化为规范型

注意最后的变换矩阵是每一次变化矩阵的乘积

结语

说明：

参考于课本《线性代数》第五版同济大学数学系编
配合书中概念讲解结合了自己的一些理解及思考

文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程

希望对您有所帮助，如有错误欢迎小伙伴指正～

我是 海轰ଘ(੭ˊᵕˋ)੭

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【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（20）：用配方法化二次型为标准形

前言

5.6 用配方法化二次型为标准形

题目一

题目二

结语