哈夫曼树
树的4个概念
- 什么是路径？
在一棵树中，从一个结点到另一个结点所经过的所有结点，被我们称为两个结点之间的路径。
上面的二叉树当中，从根结点A到叶子结点H的路径，就是A，B，D，H。
- 什么是路径长度？
在一棵树中，从一个结点到另一个结点所经过的“边”的数量，被我们称为两个结点之间的路径长度。
仍然用刚才的二叉树举例子，从根结点A到叶子结点H，共经过了3条边，因此路径长度是3。
- 什么是结点的带权路径长度？
树的每一个结点，都可以拥有自己的“权重”（Weight），权重在不同的算法当中可以起到不同的作用。
结点的带权路径长度，是指树的根结点到该结点的路径长度，和该结点权重的乘积。
假设结点H的权重是3，从根结点到结点H的路径长度也是3，因此结点H的带权路径长度是 3 X 3 = 9。
- 什么是树的带权路径长度？
在一棵树中，所有叶子结点的带权路径长度之和，被称为树的带权路径长度，也被简称为WPL。
仍然以这颗二叉树为例，树的路径长度是 3X3 + 6X3 + 1X2 + 4X2 + 8X2 = 53。
哈夫曼树概念
哈夫曼树是由麻省理工学院的哈夫曼博士于1952年发明，这到底是一颗什么样的树呢？
刚才我们学习了树的带权路径长度（WPL），而哈夫曼树（Huffman Tree）是在叶子结点和权重确定的情况下，带权路径长度最小的二叉树，也被称为最优二叉树。
举个例子，给定权重分别为1，3，4，6，8的叶子结点，我们应当构建怎样的二叉树，才能保证其带权路径长度最小？
原则上，我们应该让权重小的叶子结点远离树根，权重大的叶子结点靠近树根。
下图左侧的这棵树就是一颗哈夫曼树，它的WPL是46，小于之前例子当中的53：
需要注意的是，同样叶子结点所构成的哈夫曼树可能不止一颗，下面这几棵树都是哈夫曼树：
构建一个哈夫曼树
假设有6个叶子结点，权重依次是2，3，7，9，18，25，如何构建一颗哈夫曼树，也就是带权路径长度最小的树呢？
第一步：构建森林
我们把每一个叶子结点，都当做树一颗独立的树（只有根结点的树），这样就形成了一个森林：
在上图当中，右侧是叶子结点的森林，左侧是一个辅助队列，按照权值从小到大存储了所有叶子结点。至于辅助队列的作用，我们后续将会看到。
第二步：选择当前权值最小的两个结点，生成新的父结点
借助辅助队列，我们可以找到权值最小的结点2和3，并根据这两个结点生成一个新的父结点，父节点的权值是这两个结点权值之和：
第三步：从队列中移除上一步选择的两个最小结点，把新的父节点加入队列
也就是从队列中删除2和3，插入5，并且仍然保持队列的升序：
第四步：选择当前权值最小的两个结点，生成新的父结点。
这是对第二步的重复操作。当前队列中权值最小的结点是5和7，生成新的父结点权值是5+7=12：
第五步：从队列中移除上一步选择的两个最小结点，把新的父节点加入队列。
这是对第三步的重复操作，也就是从队列中删除5和7，插入12，并且仍然保持队列的升序：
第六步：选择当前权值最小的两个结点，生成新的父结点。
这是对第二步的重复操作。当前队列中权值最小的结点是9和12，生成新的父结点权值是9+12=21：
第七步：从队列中移除上一步选择的两个最小结点，把新的父节点加入队列。
这是对第三步的重复操作，也就是从队列中删除9和12，插入21，并且仍然保持队列的升序：
第八步：选择当前权值最小的两个结点，生成新的父结点。
这是对第二步的重复操作。当前队列中权值最小的结点是18和21，生成新的父结点权值是18+21=39：
第九步：从队列中移除上一步选择的两个最小结点，把新的父节点加入队列。
这是对第三步的重复操作，也就是从队列中删除18和21，插入39，并且仍然保持队列的升序：
第十步：选择当前权值最小的两个结点，生成新的父结点。
这是对第二步的重复操作。当前队列中权值最小的结点是25和39，生成新的父结点权值是25+39=64：
第十一步：从队列中移除上一步选择的两个最小结点，把新的父节点加入队列
这是对第三步的重复操作，也就是从队列中删除25和39，插入64：
此时，队列中仅有一个结点，说明整个森林已经合并成了一颗树，而这棵树就是我们想要的哈夫曼树：
知识点习题
- 有权值分别为11，8，6，2，5的叶子结点生成一棵哈夫曼树，它的带权路径长度为_____。
A. 24
B. 71
C. 48
D. 53
正确答案： B
答案解析：
- 画出哈夫曼树
(11 + 8 + 6)* 2 + (2 + 5) * 3 = 50 + 21 = 71
32
13 19
6 7 8 11
2 5
- 教大家一个快速解题的方法。特点：不需要画出哈夫曼树就能直接出答案
首先：将权值从小到大排序，然后像下图一样，每次合并的两个节点下面画一个横线，（期间可能要适当的调整结点）
权值的话，就等于所有的结点权值*横线个数之和。
- 给出下述节点及权值(括号中数字为权值)，构造huffman树，其带权路径长度为() a(7),b(5),c(4),d(2)
A. 18
B. 35
C. 36
D. 46
正确答案： B
答案解析：
(2 + 4)3 + 52 + 7*1 = 35
