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题目描述
在一个 m*n 的棋盘的每一格都放有一个礼物，每个礼物都有一定的价值（价值大于 0）。你可以从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次向右或者向下移动一格、直到到达棋盘的右下角。给定一个棋盘及其上面的礼物的价值，请计算你最多能拿到多少价值的礼物？
示例 1:
输入:
[
[1,3,1],
[1,5,1],
[4,2,1]
]
输出: 12
解释: 路径 1→3→5→2→1 可以拿到最多价值的礼物
题解思路 – 动态规划
从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次 向右 或者 向下 移动一格、直到到达棋盘的右下角。
设 f(i,j) 为从棋盘左上角走至单元格 (i,j) 的礼物最大累计价值，易得到以下递推关系：f(i,j) 等于 f(i,j−1) 和 f(i−1,j) 中的较大值加上当前单元格礼物价值 :
f ( i , j ) = m a x [ f ( i , j − 1 ) , f ( i − 1 , j ) ] + g r i d ( i , j ) f(i,j)=max[f(i,j−1),f(i−1,j)]+grid(i,j) f(i,j)=max[f(i,j−1),f(i−1,j)]+grid(i,j)
方法一：创建辅助数组
class Solution {
public:
int maxValue(vector<vector<int>>& grid) {
if(grid.size() == 0 || grid[0].size() == 0) return 0;
int row = grid.size(), col = grid[0].size();
vector<vector<int> > dp(row, vector<int>(col, 0));
for(int i = 0; i < row; ++i) {
for(int j = 0; j < col; ++j) {
int left = 0, up = 0;
if(i > 0) up = dp[i - 1][j];
if(j > 0) left = dp[i][j - 1];
dp[i][j] = max(up, left) + grid[i][j]; // 状态转移方程
}
}
return dp[row - 1][col - 1];
}
};
方法二：不创建辅助数组
复杂度分析：
- 时间复杂度 O(MN) ： M,N 分别为矩阵行高、列宽；动态规划需遍历整个 grid 矩阵，使用 O(MN) 时间。
- 空间复杂度 O(1) ： 原地修改使用常数大小的额外空间。
代码实现：
class Solution {
public:
int maxValue(vector<vector<int>>& grid) {
if(grid.size() == 0 || grid[0].size() == 0) return 0;
int row = grid.size(), col = grid[0].size();
for(int i = 0; i < row; ++i) {
for(int j = 0; j < col; ++j) {
if(i == 0 && j == 0){
continue;
}
else if(i == 0){
grid[i][j] += grid[i][j-1];
}
else if(j == 0){
grid[i][j] += grid[i-1][j];
}
else{
grid[i][j] += max(grid[i-1][j], grid[i][j-1]);
}
}
}
return grid[row - 1][col - 1];
}
};
代码优化
当 grid 矩阵很大时， i=0 或 j=0 的情况仅占极少数，相当循环每轮都冗余了一次判断。因此，可先初始化矩阵第一行和第一列，再开始遍历递推。
代码实现：
class Solution {
public:
int maxValue(vector<vector<int>>& grid) {
if(grid.size() == 0 || grid[0].size() == 0) return 0;
int row = grid.size(), col = grid[0].size();
for(int i = 1; i < col; ++i) { // 初始化第一行
grid[0][i] += grid[0][i-1];
}
for(int i = 1; i < row; ++i){ // 初始化第一列
grid[i][0] += grid[i-1][0];
}
for(int i = 1; i < row; ++i) {
for(int j = 1; j < col; ++j) {
grid[i][j] += max(grid[i-1][j], grid[i][j-1]);
}
}
return grid[row - 1][col - 1];
}
};
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