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题目描述
输入一个整数 n ，求1～n这n个整数的十进制表示中1出现的次数。
例如，输入12，1～12这些整数中包含1 的数字有1、10、11和12，1一共出现了5次。
示例 1：
输入：n = 12
输出：5
示例 2：
输入：n = 13
输出：6
题解思路
方法一：硬核解法
每次对10取模，然后判断个位数是否为1，当n位数大时，时间复杂度也比较高：O(nlogn)。
class Solution {
public:
int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n)
{
int count = 0;
for(int i = 1; i <= n; ++i){
count += Number(i);
}
return count;
}
int Number(unsigned int n){
int number = 0;
while(n){
if(n%10 == 1) ++number;
n /= 10;
}
return number;
}
};
方法二：找规律
- 首先来思考 n 的某一位可能是哪些数字，因为这会影响到我们找规律的公式。不难想到，n 的某一位要么是 0，要么是 1，要么是 2/3/4/…/9。
- 我们现在以十位为例子来推导我们的公式。我们设立一个变量 digit，用来表示当前的数位（digit 等于几当前的数位就是几位数）。所以如果是十位，digit = 10。
- 假设 n = 1204。此时十位是 0，我们把十位左边的叫做高位 high，所以这里 high = 12；把十位右边的叫做低位 low，所以这里 low = 4。十位能出现 1 的数字范围是：0010～1119，如果我们把十位遮住（也就是锁定十位，就可以不看它了），那就会变成：000～119，这里一共有：119 - 000 + 1 = 120 个数。是不是刚好等于 high * 10 也就是 high * digit？那我们就找到了当某一位等于 0 的时候，这一位一共可以出现的数字个数就是：high * digit。
- 假设 n = 1214。此时十位是 1，同样我们有 high = 12，low = 4。十位能出现 1 的数字范围是：0010～1214，如果我们把十位遮住，那就会变成：000～124，这里一共有：124 - 000 + 1 = 125 个数。刚好等于 12 * 10 + 4 + 1 也就是 high * digit + low + 1。那我们就找到了当某一位等于 1 的时候，这一位一共可以出现的数字个数就是：high * digit + low + 1。
- 假设 n = 1234。此时十位是 3，同样我们有 high = 12，low = 4。十位能出现 1 的数字范围是：0010～1219，如果我们把十位遮住，那就会变成：000～129，这里一共有：129 - 000 + 1 = 130 个数。刚好等于 (12 + 1) * 10 也就是 (high + 1) * digit。那我们就找到了当某一位等于 2/3/4/…/9 的时候，这一位一共可以出现的数字个数就是：(high + 1) * digit。
现在我们知道了如果找到 n 的某一位一共能出现 1 的次数。 那我们如何循环地把每一位都累加起来呢？也就是代码逻辑怎么写呢？请看下面的步骤：
- 我们的思路是从个位开始计算起，所以我们首先让 digit = 1（表示个位）；high = n / 10（表示个位左边的全部）；low = 0（表示个位右边的全部，也就是没有）；cur = n % 10（表示个位上的数）。
- 然后循环来移动 cur，确保 n 的每一位都被计算过。每次循环都用 cur 当前的值来匹配上述的三个公式，从而计算该位 1 一共能出现的次数。
- 注意我们循环退出的条件是 high 和 cur 都等于 0。因为都等于 0 就意味着 n 已经彻底遍历完了。不然的话：
- 假如退出的条件只有 high 等于 0：那假如 n = 1024，然后此时 cur 在千位，则 cur = 1，high = 0，low = 024。如果此时退出循环，我们还没来得及计算千位能出现的 1 的次数。
- 假如退出的条件只有 cur 等于 0：那假如 n = 1024，然后此时 cur 在百位，则 cur = 0，high = 1，low = 24。如果此时退出循环，我们还没来得及计算百位和千位能出现的 1 的次数。
代码实现：
class Solution {
public:
int countDigitOne(int n) {
long digit = 1; // digit 需为 long 型，因为比如 n 是 INT_MAX，digit 会在最后一次循环越界
int high = n / 10, cur = n % 10, low = 0;
int res = 0;
while (high != 0 || cur != 0){
if (cur == 0) res += high * digit;
else if (cur == 1) res += high * digit + low + 1;
else res += (high + 1) * digit;
low += cur * digit;
cur = high % 10;
high /= 10;
digit *= 10;
}
return res;
}
};
方法三：神仙代码
思路还是分别计算个位、十位、百位…上出现 1 的个数。(同方法二)
以 n =216为例：
- 个位上： 1 ，11，21，31，…211。个位上共出现（216/10）+ 1个 1 。因为除法取整，210~216间个位上的1取不到，所以我们加8进位。你可能说为什么不加9，n=211怎么办，这里把最后取到的个位数为1的单独考虑，先往下看。
- 十位上：10～19，110～119，210～216. 十位上可看成 求（216/10）=21 个位上的1的个数然后乘10。这里再次把最后取到的十位数为1的单独拿出来，即210~216要单独考虑 ，个数为（216%10）+1 .这里加8就避免了判断的过程。
- 后面以此类推。
时间复杂度： O ( l o g N ) O(logN) O(logN)
代码实现：
class Solution {
public:
int countDigitOne(int n) {
int res = 0;
for(long i = 1; i <= n; i *= 10) {
int a = n / i, b = n % i;
res += (a + 8) / 10 * i + (a % 10 == 1 ? b + 1 : 0);
}
return res;
}
};
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