小知识，大挑战！本文正在参与“程序员必备小知识”创作活动。

前言

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自我介绍 ଘ(੭ˊᵕˋ)੭

昵称：海轰

标签：程序猿｜C++选手｜学生

简介：因C语言结识编程，随后转入计算机专业，有幸拿过一些国奖、省奖...已保研。目前正在学习C++/Linux/Python

学习经验：扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语！

 

机器学习小白阶段

文章仅作为自己的学习笔记 用于知识体系建立以及复习

知其然 知其所以然！

5.5 二次型及其标准形

定义8：二次型

含有$n$个变量$x_1,x_2,...,x_n$的二次齐次函数

$f(x_1,x_2,...,x_n)=a_{11}x_1^2+a_{22}x_2^2+....+a_{nn}x_n^2+2a_{12}x_1x_2+2a_{13}x_1x_3+....+2a_{n-1,n}x_{n-1}x_n$

称为二次型

$f$中的每一项的次数都是2称为二次齐次函数 比如$x_1^2,x_1x_2....$

---

取$a_{ji}=a_{ij}$，则有

$2a_{ij}x_ix_j=a_{ij}x_ix_j+a_{ji}x_jx_i$

所以

$f=a_{11}x_1^2+a_{12}x_1x_2+...+a_{1n}x_1x_n+a_{21}x_2x_1+a_{22}x_2^2+...+a_{2n}x_2x_n+...+a_{n1}x_nx_1+a_{n2}x_nx_2+....+a_{nn}x_n^2=\sum^n_{i,j=1}a_{ij}x_ix_j$

---

对于二次型，寻求可逆的线性变换

也就是将上式代入$f$，替换$x_i$，使得二次型只含有平方项，得到

$f=k_1y_1^2+k_2y_2^2+....+k_ny_n^2$

这种只含有平方项的二次型，称为二次型的标准形（或法式）

如果标准型的系数$k_1,k_2,...,k_n$只在$1,-1,0$三个数中取值，即

$f=y_1^2+...+y_p^2-y_{p+1}^2-...-y_{r}^2$

则称上式为二次型的规范形

---

$f=a_{11}x_1^2+a_{12}x_1x_2+...+a_{1n}x_1x_n\\ \quad\\ \quad+a_{21}x_2x_1+a_{22}x_2^2+...+a_{2n}x_2x_n\\ \quad\\ \quad+...\\ \quad\\ \quad+a_{n1}x_nx_1+a_{n2}x_nx_2+....+a_{nn}x_n^2\\ \quad\\ \quad=\sum^n_{i,j=1}a_{ij}x_ix_j$

可以变形为

$f=x_1(a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n)\\ \quad\\ \quad +x_2(a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n)\\ \quad\\ \quad +....\\ \quad\\ \quad +x_n(a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...+a_{nn}x_n)\\ \quad \\ \quad\\ \quad=(x_1,x_2,...,x_n)\begin{bmatrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n\\ .\\ .\\ .\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...+a_{nn}x_n \end{bmatrix}\\ \quad\\ \quad \\ \quad=(x_1,x_2,...,x_n)\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\ .& . & & .\\ .& . & & .\\ .& . & & .\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ .\\ .\\ .\\ x_n \end{bmatrix}$

记

则二次型可记作

$f=x^TAx$

其中$A$为对称阵

例如，二次型$f=x^2-3z^2-4xy+yz$用矩阵记号写出来，就是

对称阵$A$的求法 注意$xx、yy、zz...$系数就是多项式中相对应的系数，而$xy,xz,yz,...$的系数就是多项式中相对应的系数的一半

任给一个二次型，就可以惟一确定一个对称阵；反之认给一个对称阵，也可以惟一地确定一个二次型。说明二次阵与对称阵之间存在一一对应的关系

把对称阵$A$叫做二次型$f$的矩阵，也把$f$叫做对称阵$A$的二次型，对称阵$A$的秩就叫做二次型$f$的秩

在式子中

记$C=(c_{ij})$，则上式可以变为

$x=Cy$

代入$f=x^TAx$，得到

$f=x^TAx=(Cy)^TA(Cy)=y^T(C^TAC)y$

定义9：合同

设$A$和$B$是$n$阶矩阵，若存在可逆矩阵$C$，使得$B=C^TAC$，则称矩阵$A$与$B$合同

---

若$A$是对称阵

$B^T=(C^TAC)^T=C^TA^TC=C^TAC=B$

得到$B$也是对称阵

在$B=C^TAC$中，因为$C、C^T$可逆 所以

$R(B)=R(A)$

由此可知，经可逆变换$x=Cy$后，二次型$f$的矩阵由$A$变为与$A$合同的矩阵$C^TAC$，且二次型的秩不变

---

如果要使二次型$f$经可逆变换$x=Cy$变成标准形，也就是

也就是要使得$C^TAC$成为对角阵

所以就是寻找一个可逆矩阵$C$ 使得$C^TAC$变为对角阵，这个过程就称为对称阵$A$合同对角化

定理8

由定理7得，任一对称阵$A$，总存在正交阵$P$，使得$P^{-1}AP=P^TAP=\Lambda$

将此结论运用到二次型得到

任一二次型$f=\sum^n_{i,j=1}a_{ij}x_ix_j(a_{ij}=a_{ji})$，总有正交变换$x=Py$，使$f$化为标准 形

$f=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+....+\lambda_ny_n^2$

其中$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$是f的矩阵$A=(a_{ij})$的特征值

推论

任给$n$元二次型$f(x)=x^TAx(A^T=A)$，总有可逆变换$x=Cz$，使得$f(Cz)$为规范形

举例

例14

求一个正交变换$x=Py$，把二次型

$f=-2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3$

化为标准形

思路：

• 需要将二次型变为标准形，其实就是需要找到一个可逆矩阵C，使得$C^TAC$变成一个对角阵$\Lambda$
• 又因为正交阵$P$，可以使得$P^{-1}AP=P^TAP=\Lambda$
• 所以这道题实质是求一个正交阵$P$

解答:

二次型的矩阵为

再求一个正交阵$P$，使得$P^{-1}AP=P^TAP=\Lambda$

由

解得$A$的特征值为

$\lambda_1=-2,\lambda_2=\lambda_3=1$

对应$\lambda_1=-2$,解方程$(A+2E)x=0$

得基础解系$\zeta_1=\begin{bmatrix} -1\\ -1\\ 1 \end{bmatrix}$

对$\zeta_1$进行单位化，得

对应$\lambda_2=\lambda_3=1$，解方程$(A-E)x=0$

得基础解系

将$\zeta_2、\zeta_2$正交化

令$\eta_2=\zeta_2$

$\eta_3=\zeta_3-\frac{[\eta_2,\zeta_3]}{||\zeta_2||}\eta_2=\begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}+\frac{1}{2}\begin{bmatrix} -1\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 2 \end{bmatrix}$

再将$\eta_2、\zeta_3$单位化，得

将$p_1,p_2,p_3$构成正交矩阵

有

综上，有正交变换$x=Py$

结语

说明：

• 参考于 课本《线性代数》第五版 同济大学数学系编
• 配合书中概念讲解 结合了自己的一些理解及思考

文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程

希望对您有所帮助，如有错误欢迎小伙伴指正～

我是 海轰ଘ(੭ˊᵕˋ)੭

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