简介

二分查找又叫折半查找，他是有序线性表的一种查找算法。

算法思想

假定升序排列，下标从 $0$ 开始，二分查找函数如下，返回查找到的下标，查找失败返回 $-1$ 。

/*二分查找*/
int bin_find(int *num,int len,int key){
    int low,high,mid;
    low=0;//查找下界
    high=len-1;//查找上界
    while(low<=high){
		mid=(low+high)/2;//折半
		if(key<num[mid])
			high=mid-1;
		else if(key>num[mid])
			low=mid+1;
		else
			return mid;
	}
	return -1;//查找失败
}

例题

查找大于等于

题目描述

给定一个含有 $n$ 个元素的升序序列和 $q$ 次询问，每次询问一个数，输出序列中第一个大于等于该数的元素的位置，如果序列中没有符合条件的数，则输出"Not Found"（不输出引号）。

输入格式

第1 $1$ 行输入 $2$ 个整数 $n(1\le n\le 10^5)$ 和 $q(1\le q\le 10^5)$ ，表示序列长度和询问次数;

第 $2$ 行输入 $n$ 个用空格隔开的整数 $A_i(0\le A_i\le 10^9)$ ，表示这个序列;

接下来输入 $q$ 行，每行输入 $1$ 个整数，表示要询问的数;

输出格式

对于每组数据中的每次询问，输出一行：如果序列中第一个大于等于该数的元素存在，则输出其位置，否则输出"Not Found"（不包括引号）。

样例输入

样例输出

1 
3 
5 
Not Found

题解

标准的二分查找变形即可，下标从 $1$ 开始，注意可能有重复，查找到合适下标后需要前移到第一次出现的下标。

#include <iostream>
using namespace std;
int bin_find(int *num,int len,int key){
    int low,high,mid;
    low=1;//查找下界
    high=len;//查找上界
    while(low<=high){
		mid=(low+high)/2;//折半
		if(key<num[mid])
			high=mid-1;
		else if(key>num[mid])
			low=mid+1;
		else
			break;
	}
	while(mid<=len&&num[mid]<key) mid++;//只有大于,下标右移 
	while(mid>1&&num[mid-1]==num[mid]) mid--;//取等,下标左移 
	return mid;
}
int main(){
	int n,q,num[100001],x;
	cin>>n>>q;//输入长度和询问次数
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>num[i]; 
	while(q--){
		cin>>x;//输入查询的x
		int idx=bin_find(num,n,x);
		if(idx!=n+1) cout<<idx<<endl; 
		else cout<<"Not Found\n";//等于长度+1,查找失败 
	} 
	return 0;
}

数的范围

题目描述

给定一个按照升序排列的长度为 $n$ 的整数数组，以及 $q$ 个查询。

对于每个查询，返回一个元素 $k$ 的起始位置和终止位置（位置从 $0$ 开始计数）。

如果数组中不存在该元素，则返回 $-1\ -1$ 。

输入格式

第一行包含整数 $n$ 和 $q$ ，表示数组长度和询问个数。

第二行包含 $n$ 个整数（均在 $1\sim 10000$ 范围内），表示完整数组。

接下来 $q$ 行，每行包含一个整数k，表示一个询问元素。

输出格式

共 $q$ 行，每行包含两个整数，表示所求元素的起始位置和终止位置。

如果数组中不存在该元素，则返回 $-1\ -1$ 。

输入样例

6 3
1 2 2 3 3 4
3
4
5

输出样例

3 4
5 5
-1 -1

数据范围与提示

1\le n\le 100000\\ 1\le q\le 10000\\ 1\le k\le 10000

题解

标准的二分查找修改，找到下标后进行左移右移。

#include <iostream>
using namespace std;
int s,e;//左右下标 
void bin_find(int *num,int len,int key){
    int low,high,mid;
    low=0;//查找下界
    high=len-1;//查找上界
    while(low<=high){
		mid=(low+high)/2;//折半
		if(key<num[mid])
			high=mid-1;
		else if(key>num[mid])
			low=mid+1;
		else{
			s=e=mid;
			break;
		}
	}
	if(num[mid]!=key){//查找失败 
		s=e=-1;
		return;
	}
	while(s>0&&num[s-1]==key) s--;//找左边界 
	while(e<len-1&&num[e+1]==key) e++;//找右边界 
}
int main(){
	int n,q,num[100001],x;
	cin>>n>>q;//输入长度和询问次数
	for(int i=0;i<n;i++) cin>>num[i]; 
	while(q--){
		cin>>x;//输入查询的x
		bin_find(num,n,x);
		cout<<s<<' '<<e<<endl;//输出下标范围 
	} 
	return 0;
}

数的三次方根

题目描述

给定一个浮点数 $n$ ，求它的三次方根。

输入格式 共一行，包含一个浮点数 $n$ 。

输出格式 共一行，包含一个浮点数，表示问题的解。

注意，结果保留 $6$ 位小数。

输入样例

1000.00

输出样例

10.000000

数据范围与提示

-10000\le n\le 10000

题解

采用二分法进行数据逼近，需要注意根可能是负数。

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
double solve(double value){
	double low=0,high=value,mid;
	while(fabs(high)-fabs(low)>=1e-7){//精度到达10^(-7)时停止
		mid=(low+high)/2;
		if(abs(mid*mid*mid)>abs(value)){//mid大于三次方根 
			high=mid;
		}else{//mid小于等于三次方根 
			low=mid;
		}
	}
	return mid;
}
int main(){
	double value;
	cin>>value;
	printf("%.6lf",solve(value));//6位小数 
	return 0;
}

##　砍树

题目描述

伐木工人米尔科需要砍倒 $M$ 米长的木材。这是一个对米尔科来说很容易的工作，因为他有一个漂亮的新伐木机，可以像野火一样砍倒森林。不过，米尔科只被允许砍倒单行树木。

米尔科的伐木机工作过程如下：米尔科设置一个高度参数 $H$ （米），伐木机升起一个巨大的锯片到高度 $H$ ，并锯掉所有的树比 $H$ 高的部分（当然，树木不高于 $H$ 米的部分保持不变）。米尔科就行到树木被锯下的部分。

例如，如果一行树的高度分别为 $20$ ， $15$ ， $10$ 和 $17$ ，米尔科把锯片升到 $15$ 米的高度，切割后树木剩下的高度将是 $15$ ， $15$ ， $10$ 和 $15$ ，而米尔科将从第 $1$ 棵树得到 $5$ 米，从第 $4$ 棵树得到 $2$ 米，共得到 $7$ 米木材。

米尔科非常关注生态保护，所以他不会砍掉过多的木材。这正是他为什么尽可能高地设定伐木机锯片的原因。帮助米尔科找到伐木机锯片的最大的整数高度 $H$ ，使得他能得到木材至少为 $M$ 米。换句话说，如果再升高 $1$ 米，则他将得不到 $M$ 米木材。

输入格式

第 $1$ 行： $2$ 个整数 $N$ 和 $M$ ， $N$ 表示树木的数量（ $1\le N\le 1000000$ ）, $M$ 表示需要的木材总长度（ $1\le M\le 2000000000$ ）

第 $2$ 行： $N$ 个整数表示每棵树的高度，值均不超过 $1000000000$ 。所有木材长度之和大于 $M$ ，因此必有解。

输出格式

第 $1$ 行： $1$ 个整数，表示砍树的最高高度。

样例输入

5 20
4 42 40 26 46

样例输出

题解

假设函数 $f(h)$ 是砍树后得到的木材总长度，则f(h)单调递减，可以采用二分法求得临界值 $H$ 使得 $f(H)>=M$ 且 $f(H+1)<M$ 。由于需要取最大的 $H$ ，所以需要修改 $mid=(low+high+1)/2$ 。

#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll tree[1000000];
int n,m;//n棵树,需要m米 
ll f(ll h){
	ll sum=0;
	for(int i=0;i<n;i++){
		if(tree[i]>h){//取等差值为0,省略等于 
			sum+=tree[i]-h;
		}
	}
	return sum;
}
int main(){
	ll low=1,high=1,mid;//查找边界 
	cin>>n>>m;
	for(int i=0;i<n;i++){
		cin>>tree[i];//输入 
		if(tree[i]>high) high=tree[i];//记录最大高度 
	}
	while(low<high){
		mid=(low+high+1)/2;//+1取尽量大 
		if(f(mid)>=m) low=mid;//保证low能用 
		else high=mid-1;//high减小 
	}
	cout<<low;
	return 0;
}

进击的奶牛

题目描述

Farmer John 建造了一个有 $N(2\le N\le 100,000)$ 个隔间的牛棚，这些隔间分布在一条直线上，坐标是 $x_1,\dots ,x_N(0\le x_i\le 1,000,000,000)$ 。

他的 $C(2\le C\le N)$ 头牛不满于隔间的位置分布，它们为牛棚里其他的牛的存在而愤怒。为了防止牛之间的互相打斗，Farmer John 想把这些牛安置在指定的隔间，所有牛中相邻两头的最近距离越大越好。那么，这个最大的最近距离是多少呢？

输入格式

第 $1$ 行：两个用空格隔开的数字 $N$ 和 $C$ 。

第 $2\sim N+1$ 行：每行一个整数，表示每个隔间的坐标。

输出格式

输出只有一行，即相邻两头牛最大的最近距离。

样例输入

样例输出

题解以隔间距离为搜索值进行二分查找，搜索是否存在 $C$ 个隔间满足该距离。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#define N (int)1e5
using namespace std;
typedef long long ll;
int check(int x[],int n,int c,int mid){//计算是否有c个隔间满足 
	int cnt=1,pre=x[0];//cnt是隔间数,至少是1,pre是上一个隔间坐标 
	for(int i=1;i<n;i++){//坐标从x[1]开始 
		if(x[i]-pre>=mid){//坐标距离满足 
			cnt++;
			pre=x[i];
		}
		if(cnt==c) return 1;//满足返回1 
	}
	return 0;//不满足返回0 
}
int main(){
	int n,c,low,high,mid;
	int x[N];
	cin>>n>>c;
	for(int i=0;i<n;i++){
		cin>>x[i];
	}
	sort(x,x+n);//坐标排序 
	low=0,high=x[n-1]-x[0];//隔间最小距离和最大距离 
	while(low<high){
		mid=(low+high+1)/2;
		if(check(x,n,c,mid)){//检查mid是否能满足 
			low=mid;
		}else{
			high=mid-1;
		}
	}
	cout<<low;
	return 0;
}

一元三次方程求解

题目描述

有形如： $ax^3+bx^2+cx+d=0$ 这样的一个一元三次方程。

给出该方程中各项的系数( $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ 均为实数)，并约定该方程存在三个不同实根(根的范围在 $-100$ 至 $100$ 之间)，且根与根之差的绝对值 $>=1$ 。

要求由小到大依次在同一行输出这三个实根(根与根之间留有空格)，并精确到小数点后 $2$ 位。

提示：记方程 $f(x)=0$ ，若存在 $2$ 个数 $x1$ 和 $x2$ ，且 $x1<x2$ ， $f(x1)*f(x2)<0$ ，则在 $(x1，x2)$ 之间一定有一个根。

输入格式

一行， $4$ 个实数 $A,B,C,D$

输出格式

一行， $3$ 个实根，并精确到小数点后 $2$ 位。

样例输入

1 -5 -4 20

样例输出

-2.00 2.00 5.00

题解

题目规定根在 $[-100,100]$ 之间且根绝对值之差 $\ge 1$ ，则可以在 $[-99,100]$ 中循环整数，不取 $-100$ 是因为方便计算 $[i-1,i]$ 区间，对每一个长度为 $1$ 的小区间进行二分法求根，根据零点定理 $f(i-1)*f(i)\le0$ 判定区间是否有根。

#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
double a,b,c,d;
double f(double x){
	return a*x*x*x+b*x*x+c*x+d;//三次函数 
}
double bin_search(double low,double high){
	double mid;
	while(high-low>1e-3){
		mid=(low+high)/2;
		if(f(mid)*f(low)<0){//low~mid之间 
			high=mid;
		}else if(f(mid)*f(high)<0){
			low=mid;
		}else{
			return mid;
		}
	}
	return mid;
}
int main(){
	cin>>a>>b>>c>>d;
	for(double i=-99;i<=100;i++){
		if(f(i-1)==0){//i是一个根 
			printf("%.2lf ",i-1);
			continue;
		}
		if(f(i-1)*f(i)<0){//有根
			printf("%.2lf ",bin_search(i-1,i));
		}
	}
	return 0;
}

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【C++】二分算法

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查找大于等于

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