题目介绍

方法：动态规划

我们用 f(i, j)表示从左上角走到 (i, j) 的路径数量，其中 i 和 j 的范围分别是 [0, m) 和 [0, n)。

由于我们每一步只能从向下或者向右移动一步，因此要想走到 (i, j)，如果向下走一步，那么会从 (i-1, j) 走过来；如果向右走一步，那么会从 (i, j-1) 走过来。因此我们可以写出动态规划转移方程：

需要注意的是，如果 i=0，那么 f(i-1,j) 并不是一个满足要求的状态，我们需要忽略这一项；同理，如果 j=0，那么 f(i,j-1) 并不是一个满足要求的状态，我们需要忽略这一项。

初始条件为 f(0,0)=1，即从左上角走到左上角有一种方法。

最终的答案即为 f(m-1,n-1)。

代码如下：

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[][] f = new int[m][n];
        /**
         * 从(0,0)到最左边一列的位置，都只有一条路径，因为规定只能向下跟向右走
         * 所以只能向下这一条路
         */ 
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            f[i][0] = 1;
        }
        
        /**
         * 从(0,0)到最上面的位置，都只有一条路径，因为规定只能向下跟向右走
         * 所以只能向右这一条路
         */ 
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            f[0][j] = 1;
        }
        
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                /**
                 * 从(0,0)到最上面的位置，因为规定只能向下跟向右走
                 * 所以只能最终只能从当前位置的左边走过来，或者是上边走过来
                 */
                f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - 1];
            }
        }
        return f[m - 1][n - 1];
    }
}

复杂度分析

时间复杂度：O(mn)。
空间复杂度：O(mn)，即为存储所有状态需要的空间。注意到 f(i, j) 仅与第 i 行和第 i-1 行的状态有关，因此我们可以使用滚动数组代替代码中的二维数组，使空间复杂度降低为 O(n)。此外，由于我们交换行列的值并不会对答案产生影响，因此我们总可以通过交换 m 和 n 使得 m≤n，这样空间复杂度降低至 O(min(m,n))。

62. 不同路径

题目介绍

方法：动态规划