小知识，大挑战！本文正在参与“程序员必备小知识”创作活动。

前言

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自我介绍 ଘ(੭ˊᵕˋ)੭

昵称：海轰

标签：程序猿｜C++选手｜学生

简介：因C语言结识编程，随后转入计算机专业，有幸拿过一些国奖、省奖...已保研。目前正在学习C++/Linux/Python

学习经验：扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语！

 

机器学习小白阶段

文章仅作为自己的学习笔记 用于知识体系建立以及复习

知其然 知其所以然！

5.3 相似矩阵

定义7：相似矩阵

设$A,B$都是$n$阶矩阵，若有可逆矩阵$P$，使得

$P^{-1}AP=B$

则称$B$是$A$的相似矩阵 (或称$A$与$B$相似)

对$A$进行的运算$P^{-1}AP$称为对$A$进行相似变换 可逆矩阵$P$称为把$A$变成$B$的相似变换矩阵

定理3

若$n$阶矩阵$A$与$B$相似，则$A$与$B$的特征多项式相同，从而$A$与$B$的特征值也相同

证明：

因为$A$与B相似，即存在可逆矩阵$P$，使得

$P^{-1}AP=B$

那么

$|B-\lambda E|=|P^{-1}AP-P^{-1}(\lambda E)P|=|P^{-1}(A-\lambda E)P|=|P^{-1}||A-\lambda E||P|=|P^{-1}||P||A-\lambda E|=|A-\lambda E|$

Note：

• $|AB|=|A||B|$
• $A$可逆的情况下$|A||A^{-1}|=|E|=1$

即

$|B-\lambda E|=|A-\lambda E|$

所以$A$与$B$的特征多项式相同，从而$A$与$B$的特征值也相同

备注：为什么$|B-\lambda E|=|P^{-1}AP-P^{-1}(\lambda E)P|?$

首先

$B=P^{-1}AP$

有

$|B-\lambda E|=|P^{-1}AP-\lambda E|$

其次

$P^{-1}(\lambda E)P=\lambda P^{-1}EP=\lambda P^{-1}P=\lambda E$

$P^{-1}P=E$

即

$P^{-1}(\lambda E)P=\lambda E$

所以才有

$|B-\lambda E|=|P^{-1}AP-P^{-1}(\lambda E)P|$

推论

若$n$阶矩阵$A$与对角阵

相似，则$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$是$A$的$n$个特征值

定理4

$n$阶矩阵$A$与对角阵相似（即$A$可以对角化）的充分必要条件是$A$有$n$个线性无关的特征向量

推论

如果$n$阶矩阵$A$的$n$个特征值互不相等，则$A$与对角阵相似

举例

例11

设$A=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1\\ 1 & 1 & x\\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$，问$x$为何值时，矩阵$A$能对角化？

解答：

由定理4可得

矩阵A可以对角化，则说明$A$有$n$个线性无关的特征向量

注意是特征向量

方程$(A-\lambda E)x=0$ 有非零解说明$|A-\lambda E|=0$

解得

$\lambda_1=-1,\lambda_2=\lambda_3=1$

当$\lambda_1=-1$时

得到通解为

有一个基础解系，即线性无关的特征向量就只有1个

注意是 线性无关的 特征向量只有一个

因为若$A$可以对角化，说明$A$有$n=3$个线性无关的特征向量

当$\lambda_1=-1$时有一个线性无关的特征向量

那么当$\lambda_2=\lambda_3=1$时，就需要有3-1=2个线性无关的特征向量

即方程$(A-E)x=0$解空间S的维数为2（有两个线性无关的特征向量）$R(S)=2$

那么

$R(A-E)=n-R(S)=n-2=3-2=1$

因为

$R(A-E)=1$

所以

$x+1=0$

$x=-1$

综上，$x=-1$时，矩阵$A$能对角化

结语

说明：

• 参考于 课本《线性代数》第五版 同济大学数学系编
• 配合书中概念讲解 结合了自己的一些理解及思考

文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程

希望对您有所帮助，如有错误欢迎小伙伴指正～

我是 海轰ଘ(੭ˊᵕˋ)੭

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