博弈论—鹰鸽博弈

小知识，大挑战！本文正在参与“程序员必备小知识”创作活动。

今天还是通过一个例子来帮助大家理解为生活和工作可能遇到的情景。

在上表中，博弈中有 2 个局中人分别是甲、乙，其中策略集中 $\{A_1,A_2\}$ 分别表示老鹰和鸽子，也就是代表强硬和妥协，收益矩阵如下。

	$A_1$	$A_2$
$A_1$	A-C,A-C	2A，0
$A_2$	0,2A	A,A

那么在 $A - C >0$ 情况下，甲和乙都会选择 $A_1$ 策略，这是他们的占优策略，这时因为无论乙选择鹰还是鸽，只要甲选择鹰都是收益最大的，所以选择鹰是占优策略，所以双方都会选择鹰而从达到了占优策略的均衡。而当 $A-C < 0$ 情况下，乙的策略选择需要考虑到甲的策略选择，那么在不了解甲的选择前提下，假设甲选择 $A_1$ 的概率为 $\alpha$ 从而得出

\mathbb{E}(A_1) = \alpha \times (A-C) + (1-\alpha) \times 2A

\mathbb{E}(A_2) = \alpha \times 0 + (1-\alpha) \times A

上面是乙方选择 $A_1$ (老鹰)和 $A_2$ (鸽子)的期望是多少，那么当甲采取选择 $A_1$ 策略是多少时候对于乙选择哪一个策略收益都是一样的。

\alpha \times (A-C) + (1-\alpha) \times 2A = \alpha \times 0 + (1-\alpha) \times A

\alpha = \frac{A}{C}

当甲方采取 $A_1$ 老鹰的概率情况为 $\frac{A}{C}$ 时候，乙的无论选择老鹰也好，选择鸽子也好收益都不会发生变化。双方都选择老鹰概率都是 $\alpha^* = \frac{A}{C}$ 这时就达到了一个均衡点。

这里 A 越大也就是发生选择鹰概率越大，因为发生争执的收益大原因，而当 C 越大也就是损失也大这发生争执概率变小。而且 C 增加以后，可以让选择鸽收益变大，因为鸽的收益是 $A(1 - \frac{A}{C})$ 所以 C 越大选择鸽收益就也大。