六一儿童节,一起玩玩三个小学生家庭作业题。
S1 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + …
S2 = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + …
S3 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + …
一、S1的求和过程最简单
S1 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + …
1 - S1 = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + 1- 1 + …)
= 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + …
= S1
即
1 - S1 = S1
故
S1 = 1/2
S1被称为格兰迪(Grandi)级数,它有着很成熟的证明过程及结论。
二、S2的求和过程要利用到S1的结论
S2 = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + … // 等式1
S2 = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + … // 等式2,错开了一个位置
上面两个式子相加:
2S2 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 + …
= S1 = 1/2
故
S2 = 1/4
三、S3的求和过程要利用到S2的结论
S3 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + …
S2 = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + …
上面两个式子相减:
S3 - S2 = (1 + 2 + 3+ 4 + 5 + 6 + …)
- (1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + …)
= 0 + 4 + 0 + 8 + 0 + 12 + …
= 4*(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + …)
= 4*S3
即
3*S3 = -S2 = -1/4
故
S3 = -1/12
最终
S3 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + … = -1/12
正整数无穷求和公式,等于一个负数。
该结论在Joseph Polchinski所著的《STRING THEORY》一书有引用,并广泛应用于物理相关领域。
童心未泯的朋友,神奇吗?