1. 椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$与正方形$L:|x|+|y|=4$的边界相切，求$a^2+b^2$的值。

弦长问题

1. 过点$(0,\sqrt3)$且斜率为1的直线与椭圆$\frac{x^2}{4}+y^2=1$交于$A,B$两点，求$|AB|$。

2. 已知椭圆$\frac{x^2}{4}+y^2=1$，过点$(m,0)$作圆$x^2+y^2=1$的切线$l$，切线$l$交椭圆于$A,B$两点，求$|AB|_{\max}$。

面积问题

1. 过点$(0,-2)$的直线$l$与$\frac{x^2}{4}+y^2=1$交于$P,Q$，求$S_{\Delta OPQ}$最大时直线$l$的方程。

2. 椭圆$\frac{x^2}{2}+y^2=1$，$y=kx+m_1$与$y=kx+m_2$椭圆分别交于$A,B$和$C,D$，且$|AB|=|CD|$，求四边形$ABCD$面积的最大值。

平面向量综合

1. 椭圆$\frac{x^2}{4}+y^2=1$，设过点$M(0,2)$的直线$l$与椭圆交于$A，B$两点，且$\angle AOB$为锐角，求直线$l$的斜率$k$的取值范围。

2. 椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$，直线$l:x=my-1$与椭圆交于$A,B$两点，判断点$G(-\frac{9}{4},0)$与以线段$AB$为直径的圆的位置关系。[^1]

3. 已知$A,B$分别为椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$的左右顶点，$P$为直线$x=4$上不同于点$(4,0)$的任一点，若直线$AP$与直线$BP$分别与椭圆交于$M,N$，求证：点$B$在以$MN$为直径的圆内。

4. 已知$A,B$分别为椭圆$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$的上下顶点，若直线$y=kx+4$与椭圆交于点$M,N$，直线$y=1$与直线$BM$交于点$G$，求证：$A,G,N$三点共线。

动直线定点

1. 椭圆$\frac{x^2}{4}+y^2=1$，直线$l$不过椭圆上顶点$C$且与椭圆交于$A,B$两点，若直线$CA$与直线$CB$的斜率之和为$-1$，证明：$l$过定点。

2. 椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，动直线$l$与椭圆交于$A,B$（均非右顶点）两点，且以$AB$为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线$l$过定点，求出该定点坐标。

3. 经过定点$R(0,1)$且斜率不为$0$的动直线$l$与椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$交于不同的两点$P,Q$，点$P'$为点$P$关于$y$轴对称的点，证明直线$P'Q$过定点并求出定点坐标。