球的知识点

2021-10-24 316 阅读2分钟

内切球

一般遇到内切球的问题，考虑两个方面解决问题
- 等体积法，等面积法
- 看截面
若一个几何体的表面积为 $S$ ，体积为 $V$ ，内切球的半径为 $r$ ，则

V=\frac{1}{3}Sr

直棱柱

R^2=(\frac{h}{2})^2+r^2

等边三角形的==外接圆半径 $r=\frac{\sqrt 3}{3}a$ ==
直角三角形的外接圆半径 $r=\frac{斜边}{2}$
等腰三角形的外接圆半径利用正弦定理来求 $2r=\frac{a}{\sin a}$
矩形的外接圆半径 $r=\frac{对角线}{2}$
正六边形的外接圆半径 $r=a$
侧棱垂直于底面的可以补成直棱柱

棱锥

三棱锥 $P-ABC$ ，== $P$ 在底面 $ABC$ 上的投影为 $O$ ==¹
- 若 $PA=PB=PC$ ，则 $O$ 为三角形 $ABC$ 的外心
- 若 $P$ 到 $AB,BC,AC$ 的距离相等，则 $O$ 为三角形 $ABC$ 的内心
- 若 $PA,PB,PC$ 两两垂直，则 $O$ 为三角形 $ABC$ 的垂心
- ==若两组对棱相互垂直，则第三组对棱必定相互垂直，并且每个顶点在底面的投影均为垂心==
- ==对于正三棱锥而言，对棱互相垂直==
正棱锥²

R^2=(h-R)^2+r^2\qquad R=\frac{r^2+h^2}{2h}=\frac{l^2}{2h}

==正四面体的外接球半径 $\frac{\sqrt6}{4}a$ ，内切球半径 $\frac{\sqrt6}{12}a$ ==
若三棱锥的对棱相等，补成长方体若 $PA=BC=a$ ， $PB=AC=b$ ， $PC=AB=c$ ，则外接圆半径

R^2=\frac{a^2+b^2+c^2}{8}

墙角模型：四面体的三条棱互相垂直

R^2=\frac{a^2+b^2+c^2}{4}

一般分析法

球心和底面的外心的连线垂直与底面，并且为两个底面垂线的交点，并且两条直线是共面的
这个时候注意，球心是到各个点的距离相等，而不是到点和外接圆圆心的距离相等
侧面垂直与底面的公式， $r_1,r_2$ 为两个垂直底面的外接圆半径，交线棱长为 $l$

R^2=r_1^2+r_2^2-\frac{l^2}{4}

已知二面角 $\alpha$ 的外接球的万能公式， $m,n$ 分别为两个圆心到交线的距离， $O_1,O_2$ 分别为两个三角形的外心， $E$ 为交线的中点。

思路：余弦定理-正弦定理-勾股定理

O_1O_2=m^2+n^2-2mn\cos \alpha=2r\sin \alpha=OE\sin \alpha \\R^2=OE^2+\frac{l^2}{4}=\frac{m^2+n^2-2mn\cos \alpha}{\sin^2\alpha}+\frac{l^2}{4}

这块注意不是球心的投影，而是顶点的投影，并且第一个的 $\triangle ABC$ 不是特殊三角形。 ↩
这个时候球心可能在上方，也可能在下方，也可能在这个平面内，但是公式都是一样的。 ↩