博弈论—看韩剧还是看足球?

小知识，大挑战！本文正在参与“程序员必备小知识”创作活动。

问题是夫妻双方只有一台电视机，妻子想看舞蹈而丈夫想看足球，如果双方达成看足球或者舞蹈就有一定收益，如果没有达成收益均为 0。显然并不存在纯策略纳什均衡，存在两个均衡点。

	舞蹈	足球
舞蹈	1,2	0,0
足球	0,0	2,1

混合策略下纳什均衡，妻子看舞蹈概率 p 看足球的概率就是 1 - p，丈夫看舞蹈概率 q 看足球的概率就是 1 - q。

丈夫选择看足球的策略的期望收益 $U_1(看足球,t) = 2 (1-p) + 0 \times p =2-2p$

丈夫选择了看足球，当妻子以概率 1-p 也选择了看足球会得到收益 2

丈夫选择看舞蹈策略的期望收益 $U_1(看舞蹈,t) = 0 \times (1-p) + 1 \times p = p$

妻子随机性的目的: 使丈夫无机可乘，不管丈夫选择哪个策略，其期望收益均相同

$2-2p = p \rightarrow p=\frac{2}{3}$

妻子选择看足球策略的期望收益 $U_2(看足球,t) = 1 \times (1-q) + 0 \times q =1-p$

妻子选择了看足球，当丈夫以概率 1-q 也选择了看足球会得到收益 1

妻子选择看舞蹈策略的期望收益 $U_2(看舞蹈,t) = 2 \times q + 0 \times (1-q) = 2q$

$1-q = 2q \rightarrow q=\frac{1}{3}$

纯策略纳什均衡（Pure-Strategy Nash Equilibrium）与混合策略纳什均衡（Mixed-Strategy Nash Equilibrium）的区别就在于此，任何一个有限的博弈都有一个混合策略纳什均衡（这个证明来自于纳什定理），但不是每一个博弈都有纯策略纳什均衡。在这里，我们表述为：任何二元矩阵博弈都有纳什均衡

混合策略意义下的纳什均衡

在任意一个给定的二人零和博弈中，局中人 1 和局中人 2 的最如果存在最优策略，优策略分别是 $X^*$ 和 $Y^*$

$V_{s_1} = V_{G} = V_{S_2}$ 这里 $V_G$ 表示局中人 1 在均衡下的期望收益博弈 G 的值

\begin{aligned} \mathbb{E}(X^*,Y) \le V_{S_1},\forall Y \in S_2^*\\ \mathbb{E}(X,Y^*) \le V_{S_2},\forall Y \in S_1^*\\ \end{aligned}

当丈夫给出概率分布不会让妻子在看足球和看，关于以我对丈夫了解他更喜欢看足球。

2/3 的概率会选择去看足球
1/3 的概率会选择去看舞蹈