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自我介绍 ଘ(੭ˊᵕˋ)੭

昵称：海轰

标签：程序猿｜C++选手｜学生

简介：因C语言结识编程，随后转入计算机专业，有幸拿过一些国奖、省奖...已保研。目前正在学习C++/Linux/Python

学习经验：扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语！

 

机器学习小白阶段

文章仅作为自己的学习笔记 用于知识体系建立以及复习

知其然 知其所以然！

5.2 方阵的特征值与特征向量

定义6

设$A$是$n$阶矩阵，如果数$\lambda$和$n$维非零列向量$x$使关系式

成立，那么数$\lambda$称为矩阵$A$的特征值，非零向量$x$称为$A$的对应特征值$\lambda$的特征向量

（1）式也可以写为

（2）式有非零解说明$|A-\lambda E|=0$

方程$Ax=0$有非零解时，说明$R(A)<n$，即$|A|=0$

即

（3）式是以$\lambda$为未知数的一元n次方程，称为矩阵A的特征方程；$|A-\lambda E|$是$\lambda$的n次多项式，记作$f(\lambda)$，称为矩阵A的特征多项式

• $A$的特征值就是特征方程的解
• 特征方程在复数范围内一定有解，其解的个数为方程的次数
• $n$阶矩阵$A$在复数范围内有$n$个特征值

---

性质1：设$n$阶矩阵$A=(a_{ij})$的特征值为$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$，则有

• $\lambda_1+\lambda_2+...+\lambda_n=a_{11}+a_{22}+...+a_{nn}$
• $\lambda_1\lambda_2....\lambda_n=|A|$

性质2：设$\lambda=\lambda_i$为矩阵$A$的一个特征值，则由方程

$(A-\lambda_iE)x=0$

求得非零解$x=p_i$，那么$p_i$就是$A$的对应于特征值$\lambda_i$的特征向量

显然$p_i$是矩阵$A$对应于特征值$\lambda_i$的特征向量 那么$kp_i$也是矩阵$A$对应于特征值$\lambda_i$的特征向量

定理2

设$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_m$是方阵的$m$个特征值，$p_1,p_2,...,p_m$依次是与之对应的特征向量，如果$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_m$各不相等，则$p_1,p_2,...,p_m$线性无关

证明：使用数学归纳法

当$m=1$时，特征向量为$p_1$，则只含有一个向量$p_1$的向量组一定是线性无关

$p_1$是特征向量，那么$p_1$肯定是非空向量（由定义而来）

当$m>1$时

假设$m=k-1$时，结论成立，即

$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_{k-1}$是方阵的$(k-1)$个特征值,那么对应特征向量$p_1,p_2,...,p_{k-1}$线性无关

那么只需要证明$m=k$时结论同样成立即可

令

$x_i\,(i\in[1,k])$表示一个常数

用$A$左乘（1）式，得

因为$Ap_i=\lambda_ip_i$，得

式$(3)-\lambda_k(2)$，得

$(x_1\lambda_1p_1+x_2\lambda_2p_2+....+x_{k-1}\lambda_{k-1}p_{k-1}+x_k\lambda_kp_k)-\lambda_k(x_1p_1+x_2p_2+....+x_{k-1}p_{k-1}+x_kp_k)=0$

化简，得

$x_1(\lambda_1-\lambda_k)p_1+x_2(\lambda_2-\lambda_k)p_2+....+x_{k-1}(\lambda_{k-1}-\lambda_k)p_{k-1}=0$

根据假设$p_1,p_2,...,p_{k-1}$线性无关

所以

$x_1(\lambda_1-\lambda_k)=x_2(\lambda_2-\lambda_k)=...=x_{k-1}(\lambda_{k-1}-\lambda_k)=0$

即

$x_i(\lambda_i-\lambda_k)=0\,(i\in[1,k-1])$

因为$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_{k}$各不相等，得

$(\lambda_i-\lambda_k)\neq0$

所以

$x_i=0$

再将$x_i=0\,(i\in[1,k-1])$代入(1)式，得到

$x_kp_k=0$

因为$p_k\neq0$，故

$x_k=0$

从而

$x_1=x_2=....=x_{k-1}=x_k=0$

即$p_1,p_2,...,p_k$线性无关

从而当$m=k$时，结论同样成立

证明完成！

举例

例5

求矩阵$A=\begin{bmatrix} 3 & -1\\ -1 & 3 \end{bmatrix}$的特征值和特征向量

解答：

$A$的特征多项式为

解得

$\lambda_1=2,\lambda_2=4$

当$\lambda_1=2$时，对应的特征向量满足

即

解得

$x_1=x_2$

所以$\lambda_1=2$对应的特征向量可以取$p_1=\begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}$

同理

当$\lambda_2=4$时，解得

$x_1=-x_2$

所以$\lambda_2=4$对应的特征向量可以取$p_2=\begin{bmatrix} -1\\ 1 \end{bmatrix}$

综上，$p_i$是对应于$\lambda_i$的特征向量，那么$kp_i(k\neq0)$同样也是对应于$\lambda_i$的特征向量

例6

求矩阵$A=\begin{bmatrix} -1 & 1 & 0\\ -4 & 3 & 0\\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix}$的特征值和特征向量

解答

$A$的特征多项式为

$(2-\lambda)(1-\lambda^2)=0$，解得

$\lambda_1=2,\lambda_2=\lambda_3=1$

当$\lambda_1=2$时，解方程$(A-2E)x=0$

得到基础解系

$kp_1(k\neq0)$是对应于$\lambda_1=2$的全部特征向量

当$\lambda_2=\lambda_3=1$，解方程$(A-E)x=0$

得基础解系

$kp_2(k\neq0)$是对应于$\lambda_2=\lambda_3=1$的全部特征向量

例8

设$\lambda$是方阵$A$的特征值，证明

（1）$\lambda^2$是$A^2$的特征值

（2）当$A$可逆时,$\frac{1}{\lambda}$是$A^{-1}$的特征值

证明（1）：

因为$\lambda$是方阵$A$的特征值

则存在非零向量$x$，使得

$Ax=\lambda x$

$A^2x=A(Ax)=A(\lambda x)=\lambda Ax=\lambda (\lambda x)=\lambda^2 x$

即

$A^2x=\lambda^2 x$

所以$\lambda^2$是$A^2$的特征值

证明（2）：

因为$\lambda$是方阵$A$的特征值

则存在非零向量$x$，使得

$Ax=\lambda x$

当$A$可逆时，则$A^{-1}$存在

等式两边同时左乘$A^{-1}$

$A^{-1}Ax=A^{-1}\lambda x=\lambda A^{-1}x$

即

$x=\lambda A^{-1}x$

因为$x\neq0$，所以$\lambda\neq0$

等式两边再同时除以$\lambda$，得

$\frac{1}{\lambda}x=A^{-1}x$

综上：$\frac{1}{\lambda}$是$A^{-1}$的特征值

例9

设3阶矩阵$A$的特征值为$1,-1,2$，求$A^*+3A-2E$的特征值

解答：

$A$的特征值全不为0，得$A$可逆

若至少有一个特征值为0 那么$|A|=\lambda_1\lambda_2...\lambda_n=0$ 说明$R(A)<n$ 推出$A$不可逆 相反，特征值全不为0 得$|A|=\lambda_1\lambda_2...\lambda_n>0、R(A)=n$ 知$A$可逆

所以

$A^*=|A|A^{-1}$

又因为

$|A|=\lambda_1\lambda_2\lambda_3=-2$

得到

$A^*+3A-2E=-2A^{-1}+3A-2E$

令

$F(A)=A^*+3A-2E=-2A^{-1}+3A-2E$

假设$A$的特征值是$\lambda$

那么$F(A)$的特征值就是$F(\lambda)=-2\frac{1}{\lambda}+3\lambda-2$

结合上述，得$F(A)$的特征值就是

• $F(1)=-1$
• $F(-1)=-3$
• $F(2)=3$

如果$A$的特征值是$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_m$ 那么$F(A)$的特征值是$F(\lambda_1),F(\lambda_2),...,F(\lambda_m)$

例10

设$\lambda_1$和$\lambda_2$是矩阵$A$的两个不同的特征值，对应的特征向量依次为$p_1$和$p_2$，证明$p_1+p_2$不是$A$的特征向量

证明：

因为$\lambda_1$和$\lambda_2$是矩阵$A$的两个不同的特征值

所以

$Ap_1=\lambda_1p_1$

$Ap_2=\lambda_2p_2$

使用反证法 假设$p_1+p_2$是是$A$的特征向量

那么就存在一个$\lambda$，使得

$A(p_1+p_2)=\lambda(p_1+p_2)$

又

$A(p_1+p_2)=Ap_1+Ap_2=\lambda_1p_1+\lambda_2p_2$

有

$\lambda_1p_1+\lambda_2p_2=\lambda(p_1+p_2)$

移项得

$(\lambda_1-\lambda)p_1+(\lambda_2-\lambda)p_2=0$

由定理2可知，$p_1,p_2$线性无关

则有

$\lambda_1-\lambda=0$ $\lambda_2-\lambda=0$

即

$\lambda_1=\lambda=\lambda_2$

但与题意$\lambda_1\neq\lambda_2$相矛盾

故假设不成立

即$p_1+p_2$不是$A$的特征向量

结语

说明：

• 参考于 课本《线性代数》第五版 同济大学数学系编
• 配合书中概念讲解 结合了自己的一些理解及思考

文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程

希望对您有所帮助，如有错误欢迎小伙伴指正～

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