题目介绍

力扣322题：leetcode-cn.com/problems/co…

分析

这道题要求硬币总面值加起来等于amount，这是一个限制条件。而硬币个数无限供应，所以我们需要做的，就是在满足限制条件的前提下，对于不同的硬币组合，选择一个数量最少的组合。

最简单的想法，就是直接暴力列出所有可能的情况。我们可以依次考虑每种硬币，先计算出每种硬币可能的最大个数，然后遍历每种可能，选择其中面值和为amount的组合，并且取出数量最小的那种情形。由于每种硬币可能的最大个数和amount有关，所以时间复杂度为O(A^n)。其中A为amount的值，n为硬币的种类（coins的长度）。

暴力法的时间复杂度为指数级，这在一般场景下是不可接受的。为了改进算法性能，我们可以考察凑出amount面值的具体过程：每一步增加一个硬币，硬币个数加1，而面值就向着目标增加对应的值。凑出amount时，最后一步不外乎n种情况，n就是硬币的种类。所以我们可以看出来，这就是一个典型的动态规划问题。

动态规划实现

我们定义一个状态数组dp，保存总面值金额为0~amount的硬币最小个数。dp[i]就表示总面值为i的硬币最小个数。那么状态转移方程就是

代码如下：

// 动态规划
public int coinChange(int[] coins, int amount) {
    int n = coins.length;
    int[] dp = new int[amount + 1];
    dp[0] = 0;

    for (int i = 1; i <= amount; i++){
        int minCoinNum = Integer.MAX_VALUE;
        // 遍历所有硬币面值，作为可能的“最后一步”
        for (int coin: coins){
            //conin如果大于i说明子金币值大于余额
            if (coin <= i && dp[i - coin] != -1){
                minCoinNum = Math.min(minCoinNum, dp[i - coin] + 1);
            }
        }
        dp[i] = minCoinNum == Integer.MAX_VALUE ? -1 : minCoinNum;
    }
    return dp[amount];
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(An)，其中A为题目所给的总金额amount，n是硬币的种类（coins长度）。一共需要计算 O(A)个状态；而对于每个状态，每次需要枚举n种硬币面值，所以一共需要O(An)的时间复杂度。

• 空间复杂度：O(A)。使用dp数组保存状态，长度为总金额amount + 1的空间。