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昵称：海轰

标签：程序猿｜C++选手｜学生

简介：因C语言结识编程，随后转入计算机专业，有幸拿过一些国奖、省奖...已保研。目前正在学习C++/Linux/Python

学习经验：扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语！

 

机器学习小白阶段

文章仅作为自己的学习笔记 用于知识体系建立以及复习

知其然 知其所以然！

若查看数学公式不全或显示错误

可以查看：MML学习笔记（十四）：向量空间

4.5 向量空间

定义6

设$V$为$n$维向量的集合，如果集合$V$非空，且集合$V$对于向量的加法和乘法两种运算封闭，那么就称集合$V$为向量空间

加法封闭：

若$a \in V, b \in V$，则$a+b \in V$

乘法封闭：

若$a \in V,\lambda \in R$，则$\lambda a \in V$

定义7

设$V$为向量空间，如果$r$个向量$a_1,a_2,...,a_r \in V$，且满足

• $a_1,a_2,...,a_r$线性无关
• $V$中任一向量都可由$a_1,a_2,...,a_r$线性表示

那么向量组$a_1,a_2,...,a_r$就称为向量空间$V$的一个基，$r$称为向量空间$V$的维数，并称$V$为$r$维向量空间

一般的，由向量组$a_1,a_2,...,a_m$所生产的向量空间为

$L=\{x=\lambda_1a_1+\lambda_2a_2+....+\lambda_ma_m|\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n\in\mathbb{R} \}$

Notes:

• 如果向量空间$V$没有基，那么V的维数为0
• 0维向量空间只含有一个零向量0
• 向量空间$V$的基就是向量组的最大无关组
• $V$的维数就是向量组的秩
• 任何$n$个线性无关的$n$维向量都可以是向量空间$\mathbb{R}^n$的一个基，其维数为$n$，称其为$n$维向量空间

定义8

如果在向量空间$V$中取定一个基$a_1,a_2,...,a_r$，那么V中任一向量$x$都可惟一表示为

$x=\lambda_1a_1+\lambda_2a_2+...+\lambda_ra_r$

数组$\lambda_1,\lambda_2,....,\lambda_r$称为向量$x$在基$a_1,a_2,...,a_r$中的坐标

特别地，在$n$维向量空间$\mathbb{R}^n$中取单位坐标向量组$e_1,e_2,...,e_n$为基，则以$x_1,x_2,...,x_n$为分量的向量$x$，可以表示为 $x=x_1e_1+x_2e_2,....,x_ne_n$ 可见向量在基$e_1,e_2,...,e_n$中的坐标就是该向量的分量 $e_1,e_2,...,e_n$称为$\mathbb{R}^n$中的自然基 Ps：以$x_1,x_2,...,x_n$为分量的向量$x$的意思是：$x=\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ .\\ .\\ .\\ x_n \end{bmatrix}$

举例

例18

证明：集合$V=\{x=(0,x_2,...,x_n)^T|x_2,...,x_n\in \mathbb{R}\}$是一个向量空间

解答

设$a = (0,a_2,...,a_n)^T\in V,b = (0,b_2,...,b_n)^T\in V$

加法封闭性：

$a+b=(0,a_2,...,a_n)^T+(0,b_2,...,b_n)^T=(0,a_2+b_2,...,a_n+b_n)^T\in V$

乘法封闭性：

设$\lambda \in \mathbb{R}$

有 $\lambda a = \lambda(0,a_2,...,a_n)^T=(0,\lambda a_2,...,\lambda a_n)^T\in V$

注意：第一个元素始终是0

综上：集合$V=\{x=(0,x_2,...,x_n)^T|x_2,...,x_n\in \mathbb{R}\}$是一个向量空间

例19

证明：集合$V=\{x=(1,x_2,...,x_n)^T|x_2,...,x_n\in \mathbb{R}\}$不是一个向量空间

解答

设$a = (1,a_2,...,a_n)^T\in V,b = (1,b_2,...,b_n)^T\in V$

加法封闭性：

$a+b=(1,a_2,...,a_n)^T+(1,b_2,...,b_n)^T=(2,a_2+b_2,...,a_n+b_n)^T\notin V$

第一个元素是2，而$V$中所有元素的第一个元素都是1 所以不属于$V$

加法封闭性不成立

故：集合$V=\{x=(1,x_2,...,x_n)^T|x_2,...,x_n\in \mathbb{R}\}$不是一个向量空间

例20

证明：齐次线性方程组的解集$S=\{x|Ax=0\}$是一个向量空间（称为齐次线性方程组的解空间）

解答

设$a=x_1\in S,b=x_2\in S$

有 $Ax_1=0,Ax_2=0$

加法封闭性：

$a+b=x_1+x_2$

$A(x_1+x_2)=Ax_1+Ax_2=0+0=0$

说明$a+b=x_1+x2$也是方程$Ax=0$的一个解

所以

$a+b\in S$

乘法封闭性：

设$\lambda \in \mathbb{R}$

$\lambda a=\lambda x_1$

$A(\lambda x_1)=\lambda(Ax_1)=\lambda 0=0$

说明$\lambda a$也是方程$Ax=0$的一个解

所以

$\lambda a\in S$

综上：齐次线性方程组的解集$S=\{x|Ax=0\}$是一个向量空间（称为齐次线性方程组的解空间）

例21

证明：非齐次线性方程组的解集$S=\{x|Ax=b\}$不是向量空间

解答

因为是非齐次线性方程组，所以存在没有解的情况（齐次一定有一个解：零解）

当$S$为空集的时候，$S$一定不是向量空间

向量空间的前提就是集合为非空

当$S$非空时

设$a=x_1\in S,b=x_2\in S$

加法封闭性：

$a+b=x_1+x_2$

$A(x_1+x_2)=Ax_1+Ax_2=b+b=2b \neq b$

可以得到

$a+b=x_1+x_2$不是方程$Ax=b$的一个解

不满足加法封闭性

故：非齐次线性方程组的解集$S=\{x|Ax=b\}$不是向量空间

例24

设$A=(a_1,a_2,a_3)=\begin{bmatrix} 2 & 2 & -1\\ 2 & -1 & 2\\ -1 & 2 & 2 \end{bmatrix},B=(b_1,b_2)=\begin{bmatrix} 1 & 4\\ 0 & 3\\ -4 & 2 \end{bmatrix}$，验证$a_1,a_2,a_3$是$\mathbb{R}^3$的一个基，并求$b_1,b_2$在这个基中的坐标

解答

设 $b_1=x_{11}a_1+x_{21}a_2+x_{31}a_3$ $b_2=x_{12}a_1+x_{22}a_2+x_{32}a_3$

即

记作$B=AX$

相当于对方程$AX=B$进行求解

方法就是对$(A,B)$进行初等行变换，使得$A$变为$E$

求方程$AX=B$的解一般就是对$(A,B)$进行初等行变换，使得$A$变为$E$，原来$B$位置上的结果就是$X(A^{-1}B)$

在最后的结果中，可以发现

$R(A)=3$

说明$a_1,a_2,a_3$线性无关，可以作为$\mathbb{R}^3$的一个基

同时可得

说明

$b_1=x_{11}a_1+x_{21}a_2+x_{31}a_3=\frac{2}{3}a_1-\frac{2}{3}a_2-a_3$ $b_2=x_{12}a_1+x_{22}a_2+x_{32}a_3=\frac{4}{3}a_1+a_2+ \frac{2}{3}a_3$

即$b_1,b_2$在基$a_1,a_2,a_3$的坐标依次是$(\frac{2}{3},-\frac{2}{3},-1)、(\frac{4}{3},1,\frac{2}{3})$

结语

说明：

• 参考于 课本《线性代数》第五版 同济大学数学系编
• 配合书中概念讲解 结合了自己的一些理解及思考

文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程

希望对您有所帮助，如有错误欢迎小伙伴指正～

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