@toc

一 描述principal angles的两篇好文献

1 Principal Angles Between Subspaces andTheir Tangents 2 PRINCIPAL ANGLES BETWEEN SUBSPACES IN AN A-BASED SCALAR PRODUCT: ALGORITHMS AND PERTURBATION ESTIMATES

二 对于principal angles的一种形象化理解

   假设 $X$是一个$n*p$矩阵，并且列于列之间是单位正交的，可以将其理解为具有$p$个$n$维向量的矩阵；假设 $Y$是一个$n*q$矩阵，并且列于列之间是单位正交的，可以将其理解为具有$q$个$n$维向量的矩阵,衡量$X$和$Y$之间的主角（principal angles），被定义为： $\Theta(X,Y)=[\theta_{1},...,\theta_{m}]$ 其中$m=min(p,q)$,$[\theta_{1},...,\theta_{m}]$有如下定义： $s_{k}=cos(\theta_{k})=\max_{x\in X}\max_{y\in Y}\left|x^Hy\right|=\left|x_{k}^Hy_{k}\right|$    上述公式中的$x_{k}$和$y_{k}$分别是$X$和$Y$中的列向量。    上面是对主角的定义，要注意的是principal angles定义的不是一个角，而是一系列的角，角的数量是由两个域中含有向量较少的那个域的向量数量确定的。通常是将角按照余弦值的递减序列进行排序的。其中余弦最大的角的定义可以理解为：将两个域中的列向量分别进行余弦值计算，使得值取到最大值的$x_{k}$和$y_{k}$是最大的主角对应的principal vector。其他的principal angles以此类推。    这一系列的principal angles可以形象地想象成两个域间的列向量在彼此进行一种匹配，距离最小的向量之间达成一个组合。就像找对象一样，最有夫妻相的两个人组成一个家庭。然后按照相似的程度进行排序，形成一个有序的向量。如果两个域中的相匹配的向量之间都能构成极具夫妻相的模范夫妻，那么我们可以称这两个域之间的差异很小，或者角度小，或者距离小。如果这个principal angles向量中的各个角都很大，说明两个域中的列向量之间的距离或者相似度都很低。

三计算两个域之间的principal angles的方法

1 根据定义计算两个域之间的principal angles

    对于列向量是单位正交向量的两个域，或者说两个矩阵，就像定义的那样，进行一一匹配，然后分别找到principal angles和与之相对应的principal vector。

2 利用奇异值分解

    对于列向量是单位正交向量的两个域$X$和$Y$，这两 个矩阵分别是$n*p$和$n*q$的，这里的$n$是指向量的维度,$p$和$q$代表的是样本的数量。 我们首先计算出矩阵$T$: $T=X^HY$ 然后对矩阵$T$进行奇异值分解（SVD） $T=U\Sigma V^H$ $\Sigma$是一个$p*q$的对角矩阵，每个值代表两个域之间的principal angles的余弦值，与之对应的principal vector分别是$XU$和$YV$的前$m$个列向量，其中$m=\min(p,q)$

3 其他的求解principal angles方法

上述提到的两个论文中还有其他求解方法，用到了正交补等概念，想要进一步了解的可以到上面的两个论文中查找对应的方法。