【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（12）：向量组的秩

海轰Pro
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简介：因C语言结识编程，随后转入计算机专业，有幸拿过一些国奖、省奖...已保研。目前正在学习C++/Linux/Python

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可以查看：MML学习笔记（十二）：向量组的秩

4.3 向量组的秩

定义5

设有向量组AA，如果在AA中能选出rr个向量a1,a2,...,ara_1,a_2,...,a_r，满足

  • 向量组A0:a1,a2,...,arA_0:a_1,a_2,...,a_r线性无关
  • 向量组AA中任意一个r+1r+1个向量(存在r+1r+1个向量的情况下)都线性相关

称A0A_0是向量组AA的一个最大线性无关向量组，简称最大无关组，其中最大无关组所含向量个数rr称为向量组AA的秩，记作R(A)R(A)

Note0：只含有零向量的向量组没有最大无关组，并规定其秩为0 Note1：向量组的最大无关组一般不是惟一的

定理6

矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩

推论（最大无关组的等价定义）

设向量组A0:a1,a2,..,arA_0:a_1,a_2,..,a_r是向量组AA的一个部分组，且满足

  • 向量组A0A_0线性无关
  • 向量组AA的任一向量都能由向量组A0A_0线性表示

那么向量组A0A_0就是向量组AA的一个最大无关组

举例

例9

设奇次线性方程组{x1+2x2+x3−2x4=02x1+3x2−x4=0x1−x2−5x3+7x4=0\begin{cases} x_1 + 2x_2 + x_3-2x_4=0\\ 2x_1+3x_2-x_4=0\\ x_1-x_2-5x_3+7x_4=0 \end{cases}的全体解向量构成的向量组为SS，求SS的秩

解答

设系数矩阵为AA

A=[121−2230−11−1−57]A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & -2\\ 2 & 3 & 0 & -1\\ 1 & -1 & -5 & 7 \end{bmatrix}

化简，得

在这里插入图片描述 得到

{x1−3x3+4x4=0x2+2x3−3x4=0\begin{cases} x_1 - 3x_3+4x_4=0\\ x_2+2x_3-3x_4=0\\ \end{cases}

移项

{x1=3x3−4x4x2=−2x3+3x4\begin{cases} x_1 = 3x_3-4x_4\\ x_2=-2x_3+3x_4 \end{cases}

令x3=c1,x4=c2x_3=c_1,x_4=c_2 有

{x1=3c1−4c2x2=−2c1+3c2x3=c1x4=c2\begin{cases} x_1 = 3c_1-4c_2\\ x_2=-2c_1+3c_2\\ x_3=c_1\\ x_4=c_2 \end{cases}

通解为

x=[x1x2x3x4]=c1[3−210]+c2[−4301]x=\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4 \end{bmatrix}=c_1\begin{bmatrix} 3\\ -2\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}+c_2\begin{bmatrix} -4\\ 3\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}

令

ζ1=[3−210],ζ2=[−4301]\zeta_1=\begin{bmatrix} 3\\ -2\\ 1\\ 0 \end{bmatrix},\zeta_2=\begin{bmatrix} -4\\ 3\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}

有

x=c1ζ1+c2ζ2x=c_1\zeta_1+c_2\zeta_2

得到解空间SS

S={x=c1ζ1+c2ζ2｜c1,c2∈R}S=\{ x=c_1\zeta_1 + c_2\zeta_2｜c_1,c_2 \in R \}

说明SS能由向量组ζ1,ζ2\zeta_1,\zeta_2线性表示

很明显，ζ1,ζ2\zeta_1,\zeta_2不成比例，说明ζ1,ζ2\zeta_1,\zeta_2线性无关

所以ζ1,ζ2\zeta_1,\zeta_2是SS的最大无关组，得到

R(S)=2R(S)=2

例11

设矩阵

A=[2−1−11211−2144−62−2436−979]A=\begin{bmatrix} 2 & -1 & -1 & 1 & 2\\ 1 & 1 & -2 & 1 & 4\\ 4 & -6 & 2 & -2 & 4\\ 3 & 6 & -9 & 7 & 9\\ \end{bmatrix}

求矩阵AA的列向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示

解答

A=[2−1−11211−2144−62−2436−979]∼[11−2142−1−1122−31−1236−979](r1↔r2,r3/2)A=\begin{bmatrix} 2 & - 1& -1 & 1 & 2\\ 1 & 1 & -2 & 1 & 4\\ 4 & -6 & 2 & -2 & 4\\ 3 & 6 & -9 & 7 & 9 \end{bmatrix} \sim\begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 & 1 & 4\\ 2 &-1 &-1 &1 &2\\ 2 &-3 &1 &-1& 2\\ 3& 6& -9& 7 &9 \end{bmatrix}(r_1 \leftrightarrow r_2,r_3/2)
∼[11−21402−2200−55−3−603−34−3](r2−r3,r3−2r1,r4−3r1)∼[11−21401−1100002−60001−3](r2/2,r3+5r2,r4−3r2)\sim\begin{bmatrix} 1 &1& -2 &1& 4\\ 0& 2 &-2& 2 &0\\ 0 &-5& 5 &-3& -6\\ 0& 3 &-3 &4 &-3\\ \end{bmatrix}(r_2-r_3,r_3-2r_1,r_4-3r_1) \sim\begin{bmatrix} 1 &1& -2 &1& 4\\ 0& 1 &-1& 1 &0\\ 0 &0&0 &2& -6\\ 0& 0 &0 &1 &-3\\ \end{bmatrix}(r_2/2,r_3 + 5r_2,r_4-3r_2)
∼[11−21401−1100001−300000](r3↔r4,r4−2r3)∼[10−10401−1030001−300000](r1−r2)\sim\begin{bmatrix} 1 &1& -2 &1& 4\\ 0& 1 &-1& 1 &0\\ 0 &0&0 &1& -3\\ 0& 0 &0 &0 &0\\ \end{bmatrix}(r_3\leftrightarrow r_4,r_4-2r_3)\sim\begin{bmatrix} 1 &0& -1 &0& 4\\ 0& 1 &-1& 0 &3\\ 0 &0&0 &1& -3\\ 0& 0 &0 &0 &0\\ \end{bmatrix}(r_1-r_2)

可知

R(A)=3R(A)=3

所以AA的最大无关组有3个向量，在1，2，4这三列(a1,a2,a4)(a_1,a_2,a_4)

由行最简矩阵可得

a3=[−1−100]=(−1)[1000]+(−1)[0100]=−a1−a2a_3=\begin{bmatrix} -1\\ -1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}=(-1)\begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}+(-1)\begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}=-a_1-a_2

同理可得

a5=4a1+3a2−3a4a_5=4a_1+3a_2-3a_4

综上

{a3=−a1−a2a5=4a1+3a2−3a4\begin{cases} a_3=-a_1-a_2\\ a_5=4a_1+3a_2-3a_4 \end{cases}

结语

说明：

  • 参考于 课本《线性代数》第五版 同济大学数学系编
  • 配合书中概念讲解 结合了自己的一些理解及思考

文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程

希望对您有所帮助，如有错误欢迎小伙伴指正～

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