【刷穿 LeetCode】282. 给表达式添加运算符 : 一道利用「代数系统」的回溯题本文已参与「掘力星计划」，赢取创

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题目描述

这是 LeetCode 上的 282. 给表达式添加运算符 ，难度为困难。

Tag : 「DFS」、「数学」

给定一个仅包含数字 0-9 的字符串 num 和一个目标值整数 target ，在 num 的数字之间添加二元运算符（不是一元）+、- 或 * ，返回所有能够得到目标值的表达式。

示例 1:

输入: num = "123", target = 6

输出: ["1+2+3", "1*2*3"]

示例 2:

输入: num = "232", target = 8

输出: ["2*3+2", "2+3*2"]

示例 3:

输入: num = "105", target = 5

输出: ["1*0+5","10-5"]

示例 4:

输入: num = "00", target = 0

输出: ["0+0", "0-0", "0*0"]

示例 5:

输入: num = "3456237490", target = 9191

输出: []

提示：

1 <= num.length <= 10
num 仅含数字
$-2^{31} <= target <= 2^{31} - 1$

回溯算法

最开始的想法是先使用 DFS 搜出来所有的表达式，然后套用（题解）227. 基本计算器 II 方案，计算所有表达式的结果，并将计算结果为 $target$ 的表达式加到结果集。

假设原字符串 $num$ 的长度为 $n$ ，由于每个位置之间存在四种插入决策（不插入符号、+、- 和 *），共有 $n - 1$ 个位置需要决策，因此搜索所有表达式的复杂度为 $O(4^{n - 1})$ ；同时需要对所有的表达式执行计算，复杂度为 $O(n)$ ，整体复杂度为 $O(n * 4^{n - 1})$ 。

添加运算符后的表达式长度不会超过 $20$ ，因此总的计算量应该是在 $10^7$ 以内，但可能是因为常数问题超时了（各种优化双栈操作也还是 TLE，在这上面浪费了好多时间 QWQ）。

因此，我们需要考虑在搜索过程中进行计算，以避免使用（题解）227. 基本计算器 II 这种常数较大的计算方式。

我们考虑如果只有 + 和 - 的话，可以很容易将运算和回溯搜索所有表达进行结合。但当存在 * 时，由于存在运算优先级的问题，我们需要记录形如 a + b * c 中的乘法部分。

实现上，除了记录当前决策到原串 $num$ 的哪一位 $u$ ，以及当前的运算结果 $cur$ 以外，还需要额外记录最后一次的计算结果 $prev$ ，然后在决策表达式中的第 $k$ 个部分时，对本次添加的运算符合做分情况讨论：

如果本次添加的 + 操作，且第 $k$ 项的值是 $next$ ：那么直接使用 $cur + next$ 来更新 $cur$ ，同时 $next$ 作为下一次的 $prev$ ；
如果本次添加的 - 操作，且第 $k$ 项的值是 $next$ ：同理，那么直接使用 $cur - next$ 来更新 $cur$ ，同时 $-next$ 作为下一次的 $prev$ ；
如果本次添加的 * 操作，且第 $k$ 项的值是 $next$ ：此时需要考虑运算符的优先级问题，由于本次的 $next$ 是与上一次的操作数 $prev$ 执行乘法，而 $cur$ 已经累加了 $prev$ 的影响，因此需要先减去 $prev$ ，再加上 $prev * next$ ，以此来更新 $cur$ ，同时 $prev * next$ 也作为下一次的 $prev$ 。

一些细节：需要注意前导零（ $0$ 单独作为一位是被允许的，但是多位且首部为 $0$ 是不允许的）以及 + 和 - 不作为一元运算符（运算符不能出现在表达式的首部）的情况。

代码：

class Solution {
    List<String> ans = new ArrayList<>();
    String s;
    int n, t;
    public List<String> addOperators(String num, int target) {
        s = num;
        n = s.length();
        t = target;
        dfs(0, 0, 0, "");
        return ans;
    }
    void dfs(int u, long prev, long cur, String ss) {
        if (u == n) {
            if (cur == t) ans.add(ss);
            return ;
        }
        for (int i = u; i < n; i++) {
            if (i != u && s.charAt(u) == '0') break;
            long next = Long.parseLong(s.substring(u, i + 1));
            if (u == 0) {
                dfs(i + 1, next, next, "" + next);
            } else {
                dfs(i + 1,  next, cur + next, ss + "+" + next);
                dfs(i + 1, -next, cur - next, ss + "-" + next);
                long x = prev * next;
                dfs(i + 1, x, cur - prev + x, ss + "*" + next);
            }
        }
    }
}

时间复杂度： $O(4^{n})$
空间复杂度： $O(4^{n})$

总结

该做法表面上，只是实现了边搜索边计算的功能，但其本质上是利用了实数集 $S$ 和运算符 +（- 的本质也是 +）和 * 能够组成代数系统。

利用代数系统 $(S, +, *)$ ，我们可以确保运算过程中的任意一个中间结果，都能使用形如 a + b * c 的形式进行表示，因此我们只需要多维护一个后缀串结果即可。

而代数系统的相关知识，以及如何确定能否作为一个代数系统，有兴趣的同学可以尝试去了解一下。

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.282 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

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