白话机器学习-最优化方法-牛顿法

@[toc]

简介

牛顿法，英文名称BFGS，是求解非线性优化问题的最有效的方法之一。

特点

• 收敛速度快；

方式

• 牛顿法是迭代算法，每一步需要求解目标函数的海塞矩阵的逆矩阵，计算比较复杂（后续会讲解拟牛顿法，拟牛顿法通过正定矩阵近似海塞矩阵的逆矩阵或海塞矩阵，简化了这个过程。

分析

考虑无约束最优化问题 $\min_{x \in R} f(x)$ 其中$x^*$为目标函数的极小点。 假设f(x)具有二阶连续偏导数，若第k次迭代值为$x^{(k)}$，则可将f(x)在$x^{(k)}$附近进行二阶泰勒展开: $f(x) = f(x^{k}) + g_{k}^{T}(x - x^{k}) + 1/2(x-x^{k})^TH(x^{k})(x - x^{k})$

• $g_k = g(x^{k})= \nabla(f(x^{k}))$是f(x)的梯度向量在$x^{(k)}$的值。
• $H(x^{k})$是f(x)的海塞矩阵 $[\frac {\partial f^2} {\partial x_i \partial y_j}]_{nxn}$在$x^{(k)}$的值。

这里详解下泰勒展开式的里面的海塞矩阵，暂时讲解下二元函数的泰勒展开式

接着我们继续进行，函数f(x)有极值的必要条件是在极值点处的一阶导数为0，即梯度向量为0。特别是当$H(x^{k})$是正定矩阵的时候，函数f(x)的极值为极小值，所以： $\nabla(f(x)) = 0$

对f(x)求导，则 $\nabla(f(x) = f(x^{k}) + g_{k}^{T}(x - x^{k}) + 1/2(x-x^{k})^TH(x^{k}(x - x^{k})))$ $= g_k + H(x^{k})(x - x^{k})$ 则 $g_k + H(x^{k})(x^{k+1} - x^{k}) = 0$ $x^{k+1} - x^{k}= -H(x^k)^{-1}g_k$ 或者 $x^{k+1} = x^{k} + p_k$ 其中 $H(x^k)p_k = -g_k$ 到此公式推导完毕

算法

输入：目标函数f(x)，梯度$g(x) = \nabla f(x)$，海塞矩阵H(x)，精度要求ε； 输出：f(x)的极小点x^*;

1. 取初始值点$x^{(0)}$，k=0；
2. 计算$g_k = g(x^{(k)})$
3. 若$||g_k|| < ε$，则停止计算，得到解$x^* = x^{(k)}$
4. 计算$H_k = H(x^{(k)})$，并且求解$p_k$ $H(x^k)p_k = -g_k$
5. 进行迭代，$x^{k+1} = x^{k} + p_k$，请求k++，转到第2步；