证明题： $2^n-1$ 是质数，则 $n$ 也是质数

假设若 $n$ 不是质数，即 $n$ 可以写成两个大于 $1$ 的正整数的乘积，即

n = a b

则 $2^n-1$ 可写作

\begin{aligned} & \ 2^n - 1 \\ = & \ 2^{ab} - 1 \\ = & \ (2^a)^b - 1 \end{aligned}

由 $n$ 次方差公式

x^n - 1 = \left(x-1\right) \left(x^{n-1} + x^{n-2} + \cdots + x + 1\right)

则有

(2^a)^b - 1 = \left(2^a-1\right) \left((2^a)^{b-1} + (2^a)^{b-2} + \cdots + 2^a + 1\right)

即

\begin{aligned} & \ 2^n - 1 \\ =& \ (2^a)^b - 1 \\ =& \ \left(2^a-1\right) \left[(2^a)^{b-1} + (2^a)^{b-2} + \cdots + 2^a + 1\right] \end{aligned}

其中

2^a-1 > 1

(2^a)^{b-1} + (2^a)^{b-2} + \cdots + 2^a + 1 > 1

由此可知 $2^n - 1$ 可以写成两个大于一的正整数的乘积，与题设中 $2^n-1$ 是质数矛盾，则 $n$ 不是质数的假设不成立，所以 $n$ 是质数。

证明题：2^n-1 是质数，则 n 也是质数