线性代数视角下的斐波那契数列一道平平常常的线性代数题，结合斐波那契数列的规律，将产生鬼斧生工般的效果，快速解题。关键词：

问题：求

\begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&0 \\ \end{bmatrix} ^ {10}

解：题这么出，肯定不是要一个一个去算的。但是需要计算几个，找找感觉。

此过程不表。

算了几个之后，发现该矩阵的幂与斐波那契数列有着不可告人的秘密。

F_0 = 0 , F_1 = 1,F_2 = 1, F_{n+2} = F_{n+1} + F_{n}

我们要证明

\begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&0 \\ \end{bmatrix} ^ {n} = \begin{bmatrix} F_{n+1}& F_{n}\\ F_{n}& F_{n-1} \\ \end{bmatrix}

采用数学归纳法证明上述结论。

显然当n=1时，上述式子成立。

假设n=k时成立，即

\begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&0 \\ \end{bmatrix} ^ {k} = \begin{bmatrix} F_{k+1}& F_{k}\\ F_{k}& F_{n-1} \\ \end{bmatrix}

那么当n=k+1时，我们有

\begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&0 \\ \end{bmatrix} ^ {k+1} = \begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&0 \\ \end{bmatrix} ^ {k} * \begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&0 \\ \end{bmatrix}

= \begin{bmatrix} F_{k+1}& F_{k}\\ F_{k}& F_{n-1} \\ \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&0 \\ \end{bmatrix}

= \begin{bmatrix} F_{k+1}*1+F_k*1 & F_{k+1}\\ F_{k+1}& F_{k} \\ \end{bmatrix}

= \begin{bmatrix} F_{k+2} & F_{k+1}\\ F_{k+1}& F_{k} \\ \end{bmatrix}

证毕

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
$F_n$	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89

\begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&0 \\ \end{bmatrix} ^ {10} = \begin{bmatrix} F_{11}& F_{10}\\ F_{10}& F_{9} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 89&55 \\ 55&34 \\ \end{bmatrix}