求整数n二进制表示中的第k位

💯二进制常识

比如n的十进制表示为15，其二进制表示就是1111（注意二进制是从右向左算的，最右边的是个位，算的话：个位是第0位，十位是第1位，百位是第2位 ......）

💢把第k位放到个位上

那么如何由整数n到二进制表示中的第k位呢？整数直接操作计算机二进制的核心操作：位运算，c++中提供的位运算符之一有 '<<' （位右移运算符）。

How to use it：比如 3 >> 1 就是将3的二进制向右移移一位（右移就是箭头指向右边哦）。11（3的二进制）向右移移位变成1，低位自动消失，那么如果 n >> k就是向右移动k位（原来的第0 ~ 第k - 1个数被去掉了），那么第k个数就到了个位的位置。【注】这里的位运算操作是不会影响原来变量的值的，了解这点非常重要。

int m = 10; // 二进制1010
cout << (m >> 1); // 5 ，二进制101
cout << m; // 10

💥到个位后，如何取出

"与"运算

这里的个位是指二进制中的个位，我们都知道取十进制的个位很简单：x%10即可。那么怎么把二进制的个位取出来呢？这里应该想到 “按位与&” 运算，&运算的本质就是将二进制的各个数位都做与操作，其中0为false,1为true，空位都按0来处理。

比如：10 & 1,10的二进制表示为1010,1的二进制表示为1，那么"10 & 1"更加容易理解的形式就是 1010 & 0001 ，false & false 还是 false，true & true 还是 true，只有false & true 时才会变为false。所以最终与的结果为 0000，也即0。计算法则实际上也就是：与上0相当于把那位数清0，与上1相当于把那位保留。

与运算取个位

重点来啦！！！根据“按位与”的特性（与1保留，与0清0），我们可以用它来 取一个数二进制表示中的指定位。 让该数与的那个数想要的指定位为1，其他所有位都为0即可，但要注意&运算的左右两边都要放由二进制计算过的十进制数。

比如，想要取出10（二进制1010）的第3位1，我们就可以10 & 8（8的二进制为1000），结果就是8,但这并不是我们想要的结果啊，我们想要的是二进制本身的那个数，但现在却是1 * 2^(4 - 1)，所以：要直接取到二进制中本身位的那个数，最好把那个数放到个位(不然就会被转为10进制数形式输出)，然后用'& 1'将其取出，这也就是上面我们要把第k个数移动到个位的原因了（🧐绝对重点!）。（注：& 1一定是取的个位，因为它可以是01,001,0001... 与另一个数相匹配，一个位上的数一定是1）

int m = 10;
cout << (10 & 1) << endl; // 0
// 原理为 1010 & 0001 ---> 0000，最后给我的就是0000 * 2^0 等于 0

💫正式解决

有了以上三个运算基础后，就可以正式地解决问题了，求二进制表示中的第k位：

①. 先把二进制中的第k位数移动到个位：n >> k;

②. 然后再看个位是几 : (n >> k) & 1

因为" >> " 的优先级比 & 高，所以整个步骤可以合并为：n >> k & 1

这样我们就轻松地求出了整数n二进制表示中的第k位啦💐

返回x的最后一位1: lowbit(x)

💭lowbit实现讲解

这里指的是二进制中的最后一位出现的1所对应的值，直接给结论： x & -x

原理是什么？ c++中-x和x取反加1是等价的（~x+1实际上就是补码，二进制中是用补码去表示负数的），所以： x & -x == x & (~x + 1) 实例论证： x = 1010 ... 100 ... 0

~x = 0101 ... 011 ... 1

~x + 1，二进制加法，遇2进1：

~x + 1 = 0101 ... 100 ... 0 现将x & (~x + 1) ，根据我们上面讲解的“按位与”操作可以看出结果为：

x & (~x + 1) = 0000 ... 100 ... 0，原来最后一位的1前面的数全部变为0了，后面的数也变为0了，只剩它一个，此时整个二进制数的值也对应了它的值！

【注】感兴趣地同学可以思考一下为什么 - x == ~x + 1？

提示： -x == 0...32个0 - x =二进制中= 10...32个0（共33位） - x

👣lowbit应用

lowbit最常见的应用就是统计x二进制表示中1的个数，思想是： 每次都把x的最后一位1减掉，当x == 0时，里面就没有1了，减了多少次，就说明里面还有多少个1！现给一个题目：

给定一个长度为 n 的数列，请你求出数列中每个数的二进制表示中 1 的个数。

输入格式

第一行包含整数 n。

第二行包含 n 个整数，表示整个数列。

输出格式

共一行，包含 n 个整数，其中的第 i 个数表示数列中的第 i 个数的二进制表示中 1 的个数。

代码实现

#include<iostream>

using namespace std;

int lowbit(int x) {
    return x & -x;
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    while(n --) {
        int x;
        cin >> x;
        int res = 0;
        while(x) x -= lowbit(x), res ++; // 每次都减去x的最后一位1对应的值，然后计数变量++，直到减到0为止
        cout << res << ' ';
    }
    return 0;
}

小结

最后记住位运算的两个基本问题：

① 求整数n二进制表示中的第k位：n >> k & 1

② lowbit求整数x二进制表示中最后一位出现的1所对应的值：x & -x

如果能够深刻理解上面两个问题，其他c++中有关位运算的操作也就能轻松搞定了

c++位运算中最常用的两种操作