【算法】有哪些方法能判断一个数是不是质数？今天给大家介绍几个用于素性测试（primality test）的确定性算法，适

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大家好，我是披着狼皮的🐏。今天给大家介绍几个用于素性测试（primality test）的确定性算法，适用于判断给定整数 n 是否为质数。注意，这里不考虑 0、1 等其他不是质数也不是合数的数，在实际应用上大家记得自己加 if 判断。

试除法（Trial Division）+ 优化

最直接的方法，遍历从 2 到 n-1 的所有数字，并检查其是否能整除 n，找到了便返回 False。

def is_prime(n):
    for x in range(2, n):
        if n % x == 0:
            return False
    return True

优化 1

如果 n 是合数，那么必然存在两个约数 $p_1$ 和 $p_2$ ，且 $p_1 \le \sqrt{n} \le p_2$ 。简单来说，因数是一对一对出现的，而 $\sqrt{n}$ 就是那个“对称轴”，我们不必把所有小于 n-1 的数都试一次，到 x == sqrt(n) 就可以停下了。

from math import isqrt  // Python 版本 >= 3.8

def is_prime(n):
    for x in range(2, isqrt(n) + 1):
        if n % x == 0:
            return False
    return True

优化 2

如果 n 能被一个偶数整除，那么它一定能被 2 整除，合理吧？因此，我们可以跳过除了 2 以外的所有偶数。

from math import isqrt  // Python 版本 >= 3.8

def is_prime(n):
    if n == 2:
        return True
    elif n % 2 == 0:
        return False
        
    for x in range(3, isqrt(n) + 1, 2):
        if n % x == 0:
            return False
    return True

优化 3

除了 2 与 3，所有质数一定能表达成 6k+1 或 6k+5 的形式，k 为一个正整数。

（质数一定能表达成这个形式，但能表达成这个形式的数不一定是质数。）

论证

6k 能被 6 整除，不是质数;
6k+2 和 6k+4 能被 2 整除，不是质数；
6k+3 能被 3 整除，不是质数；

那么就只剩下 6k+1 和 6k+5 有可能质数了。

注：6k+5 也可以写成 6k-1，因为 $5 \equiv -1 \pmod 6$ 。

对于有可能是质数的数，我们还得用试除法，范围还能再进一步的缩小 —— 在能表示成 6k+1 或 6k+5 的数中寻找因数就可以了。

为什么？

所有的合数都能分解成质数，所以 n 只需要与可能是质数的数（即 6k+1 或 6k+5）判断就可以了。

def is_prime3(n):
    if n == 2 or n == 3:
        return True
    # 不能表达成 6k+1 或 6k+5 的数一定不是质数
    if n % 6 != 1 and n % 6 != 5:
        return False
    # 进一步的判断
    for x in range(5, int(sqrt(n)) + 1, 6):
        if n % x == 0 or n % (x + 2) == 0:
            return False
    return True

威尔逊定理（Wilson's Theorem）

数论四大定理之一：

当且仅当 $n$ 是质数时：
$(n - 1)! \equiv -1 \pmod n$

简单来说，如果 n 是质数，则 n-1 的阶乘加 1 除以 n 的余数为 0。

论证

$\{1, 2, \dots, n-1\}$ 里的每个元素 $a$ 都会有一个模 $n$ 的倒数 $a^* \in \{1,2,\dots,n-1\}$ ，即 $aa^* \equiv 1 \pmod n$ 。（这里就不论证这句话了……）

若 $a = a^*$ ，

\begin{aligned} a^2 &\equiv 1 \pmod n \\ a^2 - 1 &\equiv 0 \\ (a - 1)(a + 1) &\equiv 0\\ \\ a &\in \{1,\,n-1\} \end{aligned}

只有 1 和 $n-1$ 的模倒数是自身， $\{2,3,\dots,n-2\}$ 内的每个数都有一个独特的模倒数。两两配对，那么我们就有几个模 $n$ 等于 $1$ 的对。

\begin{aligned} (n-1)! &\equiv -1 \pmod n \\ 1 \times [2 \times 3 \times \dots \times (n - 2)] \times (n-1) &\equiv -1 \\ 1 \times 1 \times (n - 1) &\equiv -1 \\ n - 1 &\equiv -1 \\ n &\equiv 0 \end{aligned}

证明完毕，上代码。

from math import factorial

def is_prime(n):
    return (factorial(n - 1) + 1) % n == 0

AKS 素性测试（Agrawal–Kayal–Saxena Primality Test）

$n$ 是质数当且仅当：

$n$ 能整除 $(x + 1)^n - (x^n + 1)$ 的展开式的所有系数。

论证

利用二项式定理（binomial theorem），展开原式：

\begin{aligned} (x + 1)^n - (x^n + 1) &= \sum_{r=0}^{n}{\binom{n}{r} x^r} - (x^n + 1) \\ &= \sum_{r=1}^{n-1}{\binom{n}{r} x^r} \end{aligned}

可以看得出， $x^n + 1$ 这项去掉了 $(x + 1)^n$ 展开式的首尾项。那么上方的定理也可以这么表达：

$n$ 是质数当且仅当：

$n$ 能整除 $\binom{n}{r}, r=1,2,\dots,n-2,n-1$ 。

让 $N = \binom{n}{r}$ ，

\begin{aligned} N &= \frac{n!}{(n-r)!\,r!} \\ n! &= N(n-r)!\,r! \end{aligned}

显然 $n$ 能整除 $n!$ ，那么 $n$ 就能整除 $N(n-r)!\,r!$ 。如果一个数能整除一个几个数的积，那么它一定至少能整除它们之一。由于 $p$ 不能整除

$(p-r)!$ ，因为 $(p-k)<p$ 且 $p$ 是质数；
$r!$ ，因为 $k<p$ 且 $p$ 是质数；那么它一定能整除 $N$ 。

这个定理对于质数成立。

当 $n$ 为合数时，

让 $c$ 为 $n$ 的因数， $n=cd$ 。显而易见， $c,d \in \{1,2,\dots,n-1\}$ 。

\begin{aligned} \binom{n}{c} &= \frac{n!}{(n-c)!\,c!} \\ &= \frac{n(n-1)\dots(n-c+1)\cancel{(n-c)!}}{\cancel{(n-c)!}\,c!} \\ &= \frac{n(n-1)\dots(n-c+1)}{c!} \end{aligned}

如果上方的式子可以被 $n$ 整除，那么必然会有一个正整数 $k$ 使得 $\binom{n}{c} = kn$ 。

\begin{aligned} \frac{\cancel{n}(n-1)\dots(n-c+1)}{c!} &= k\cancel{n} \\ k &= \frac{(n-1)(n-2)\dots(n-c+1)}{c!} \end{aligned}

让我们看看 $k$ 是不是整数。

\begin{aligned} (n-1)(n-2)\dots(n-c+1) &\equiv (p-1)\times(p-2)\times\dots\times1 \pmod p \\ &\equiv (p-1)! \end{aligned}

根据威尔逊定理，

(p-1)! \equiv -1 \pmod p

$k$ 不可能是整数。这个定理对于合数不成立。

论证完毕，代码如下：

from math import comb  # Python 版本 >= 3.8

def is_prime(n):
    for r in range(1, n):  // (n-1) + 1 = n
        if comb(n, r) % n != 0:
            return False
    return True

优化

$\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$

$\binom{n}{1}=\binom{n}{n-1}$ ， $\binom{n}{2}=\binom{n}{n-2}$ ，以此类推。因此，range 的范围可以缩小一半。

from math import comb  # Python 版本 >= 3.8

def is_prime(n):
    for r in range(1, n // 2 + 1):
        if comb(n, r) % n != 0:
            return False
    return True

就这样，拜拜。