下面的几何体的外接球半径为$R$，底面外接球半径为$r$，截面圆的半径也记为$r$，底面的面积为$S$，体积为$V$，高为$h$，内切球半径为$r_0$，正四面体的棱长为$a$，正棱柱的底面边长为$a$，侧棱长为$l$

正方体，长方体

公式：

1. $2r=2\sqrt3=\sqrt{3}a\to a=2$建系或者是体对角线的$\frac{1}{6}=\frac{\sqrt3}{6}a=\frac{\sqrt3}{3}$

2. $$R^2=\frac{1^2+1^2+(\sqrt{2})^2\quad }{4}=1 \quad V=\frac{4\pi}{3}$$
3. $$R^2=\frac{10^2+(2\sqrt{34})^2+(2\sqrt{41})^2}{8}=50 \quad S=200\pi$$

4. 设$AE=x$

   $$\cos \theta=\frac{5\sqrt3}{9}=\frac{9+9+3x^2-x^2}{2\cdot3\cdot\sqrt{9+3x^2}}\\let~x^2=t\\ t^2-7t+6=0,t=1~or~6 \qquad (2R)^2=2(2x)^2+(9-x^2)=7x^2+9=16~or~51$$

5. 先证明是墙角模型的正四棱锥，则套公式

柱体

公式：

1. $$h=a\quad r=\frac{a}{\sqrt3}\to R^2=\frac{7a^2}{12}\quad S=\frac{7\pi a^2}{3}$$
2. $$r=0.5\quad V=Sh=6\cdot \frac{\sqrt3}{4}\cdot(0.5)^2\cdot h=\frac{9}{8}\to h=\sqrt3\\R^2=1\quad V=\frac{4\pi}{3}$$
3. $$h=1\quad r=\frac{\sqrt3}{2}\to R^2=1\quad S=4\pi$$

4. 首先需要看出来

   $$PA\bot BC\quad PA\bot AC \to PA\bot ABC$$

   之后套公式

   $$h=2\quad r=\frac{1}{\sqrt3}\to R^2=\frac{4}{3}\quad S=\frac{16\pi}{3}$$

5. 设底面的边长为$a$

   $$V=\frac{\sqrt3 a^2}{4}\cdot h=3\sqrt3 \quad a^2h=12\\ R^2=\frac{h^2}{4}+\frac{a^2}{6}+\frac{a^2}{6}\ge3\sqrt[3]{\frac{h^2}{4}\cdot\frac{a^2}{6}\cdot\frac{a^2}{6}}=3\\ S\ge12\pi$$

6. 最大的时候$AD\bot BCD$

   $$h=1\quad r=\frac{1}{\sqrt3}\to R^2=\frac{7}{12}\quad S=\frac{7\pi}{3}$$
7. $$R=1\quad h=1\to r=\frac{\sqrt3}{2}\quad V=\pi r^2h=\frac{3\pi}{4}$$

8. 对于柱体的内切半径而言，球半径为底面内切圆的半径和高一半的较小者

   利用等面积法求底面内切圆的半径$r=2,\frac{h}{2}=\frac{3}{2}$

   固有内切球半径为$\frac{3}{2},V=\frac{9\pi}{2}$

9. 记$AC$的中点为$D$，并且记对应的外接圆的半径为$r$，柱体的高记为$h$，则有：

   $${O_1O_2}^2=O_1D^2+DO_2^2=r_1^2-\frac{BC^2}{2}+{(\frac{h}{2})}^2=3\\ O_1A^2+O_2A^2=r_1^2+\frac{BC^2}{2}+{(\frac{h}{2})}^2=5$$

正棱锥

公式：

1. $$V=\frac{\sqrt3}{4}\cdot1=\frac{\sqrt3}{4}$$
2. $$2\sqrt3=8\cdot\frac{\sqrt3}{4}a^2\to a=1\quad h^2=a^2-\left( \frac{a}{\sqrt2} \right)^2\\ R=\frac{a^2}{2h}=\frac{1}{\sqrt2}\quad V=\frac{\sqrt2}{3}$$
3. $$\cos \theta=\frac{1}{4}=\frac{x^2+x^2-(2\sqrt3)^2}{2x^2}\to x=2\sqrt2 \\r=2\sqrt3\cdot \frac{\sqrt3}{3}=2\quad h^2=l^2-r^2=4\\ R=\frac{l^2}{2h}=2\quad S=4\pi R^2=16\pi$$
4. $$h=2~~r=\frac{1}{\sqrt2}\to R=\frac{9}{8}\quad S=\frac{81\pi}{16}$$

5. 该四面体的内切球是含着的四面体的外接球，设内含的小正四面体的棱长为$a$：

   $$r_0=5\cdot \frac{\sqrt6}{12}=\frac{\sqrt 6}{4}{a}\quad a=\frac{5}{3}$$

圆锥

圆锥的关键是看截面，设过高线的平面截的圆锥的两个母线的夹角为$2\theta$

1. $$\tan\theta=\frac{1}{2\sqrt2}=\frac{r_0}{3-1}\to r_0=\frac{2}{\sqrt2}\quad V=\frac{\sqrt2 \pi}{3}$$
2. $$\tan \theta=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\frac{\sqrt2 }{2}a}{\sqrt2-a}\to a=\frac{\sqrt 2}{2}$$
3. $$S_侧=\pi rl=2\pi r^2\to l=2r \quad\theta=\frac{\pi}{6} \\ \tan\theta=\frac{1}{\sqrt3}=\frac{r_0}{l-r}\to r_0=\frac{r}{\sqrt3}\\ S_{内切球}=4\pi r_0^2=\frac{4}{3}\pi r^2=\frac{4}{3}S_圆$$

4. 设球心到圆锥底面的距离为$h$

   $$\pi r^2=\frac{3}{16}~4\pi R^2\to r=\frac{\sqrt3}{2}R\\ h^2=R^2-r^2\quad h=\frac{R}{2}\\ \frac{小高}{大高}=\frac{R-h}{R+h}=1:3$$

一般分析

对应的两个基本公式

1. $${O_1S}^2={O_1S_1}^2+{SS_1}^2={O_1S_1}^2+{h}^2={\left (\frac{\sqrt2}{2}\right)}^2+(\sqrt{2})^2=\frac{5}{2}$$

   ==讲前必刷==，这种题先把球心和底面所确定的棱锥给确定下来，然后确定最后一个顶点先后顺序很有讲究，底面中心为$O_1$，球心为$O$，$S$在底面的投影为$S_1$，在直角梯形中$OO_1S_1S$去考虑，这里面都是确定的。

2. 同上一道题一样，在这个四边形中分析可以得到$S_1O_1=S_1O=R=1$

   ==讲前必刷==

3. $$\left( \frac{h}{2} \right)^2=R^2-r^2\quad R=1\quad r=\frac{1}{\sqrt3}\to h=2\sqrt{\frac{3}{2}}\\ V=\frac{1}{3}\frac{\sqrt3}{4}\cdot2\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt2}{6}$$
4. $$通过直径求得AC=BC=2\quad \\求得底面等腰三角形的外接圆半径：2r=\frac{2}{\frac{\sqrt{13}}{4}}\\ \left( \frac{h}{2} \right)^2=R^2-r^2\quad R=2\quad r=\frac{4} {\sqrt{13}}\to h=2\sqrt{\frac{36}{13}}\\ S_底=\frac{\sqrt{13}}{2}\frac{\sqrt3}{2}\quad V=\frac{1}{3}S_底 h=\sqrt3$$

   ==讲前必刷==

5. $$r_1=r_2=\frac{1}{\sqrt3}\quad l=2 \to R^2=\frac{5}{3} \quad S=\frac{20}{3}\pi$$
6. $$先求等腰三角形的外接圆半径：2r=\frac{6}{\sin \theta}\quad \sin\theta=\frac{2\sqrt2}{3}\\$$
   $$r_1=r_2=r=\frac{9}{2\sqrt2}\quad l=4\to R^2=\frac{65}{4}\quad S=65\pi \\$$
7. $$m=n=\sqrt3\cdot \frac{\sqrt3}{6}=\frac{1}{2}\quad l= 2\quad\alpha=\frac{2}{3}\pi \\ \to R^2=\frac{7}{2}\quad V=\frac{7\sqrt7}{6}\pi$$

8. 过$A$点做垂线交$BCD$与$O$，由三余弦定理

   $$\cos \angle AOB=\frac{\cos 60\degree} {\cos 30\degree}=\frac{1}{\sqrt3}=\frac{OB}{AB} \to OB=\sqrt3$$

   在等边三角形$DBC$上，可知$O$为$DC$中点，从而是两个互相垂直平面的外接球模型：

   $$r_1=\frac{2}{\sqrt3}\quad 2r_2=\frac{\sqrt7}{\frac{\sqrt6}{\sqrt7}}\to r_2=\frac{7}{2\sqrt6} \quad l=2\\ R^2=\frac{4}{3}+\frac{49}{24}-\frac{4}{4}=\frac{19}{8}\quad S=\frac{19}{2}\pi$$

   ==讲前必刷==

结合交线，截面

1. 首先这个球与侧面相交，得到的是一个扇形，角度计算可以知道是$90\degree$，先确定圆心是$C_1B_1$的中点

   $$r^2=(\sqrt5)^2-(\sqrt3)^2\qquad l=\frac{2\pi \sqrt2}{4}=\frac{\sqrt 2\pi}{2}$$

2. 则$D$点在过$AB$且垂直于$ABC$的平面上，并且也在球$O$上，也就是在球$O$和此平面的交线上，为一个圆，圆心为$BC$的中点；

   则有三棱锥$A-BCD$的高为$A$到该平面$ABC$的距离，也就是到$BC$的距离最大为$r=\sqrt{2^1-1^2}=\sqrt{3}\quad V=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt3}{4}\cdot(2\sqrt3)^2 \cdot \sqrt3=3$

3. $$2R=\frac{2\sqrt2}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{4\sqrt2}{\sqrt3}\to R=\frac{2\sqrt2}{\sqrt3}\\ 截面为圆，圆心记为O_1\\ S_{\Delta O_1DC}=\frac{1}{2}\cdot R^2\cdot\sin{\frac{2\pi}{3}}=\frac{2}{\sqrt3}\quad S_扇=\frac{2}{3}\pi\cdot R^2=\frac{16}{9}\pi\\ S=\frac{16}{9}\pi+\frac{2}{\sqrt3}$$
4. $$r=\sqrt{R^2-\frac{R^2}{9}}=\frac{2\sqrt2}{3} R\quad S_底=(\frac{2}{3}R)^2 \quad h=\frac{4}{3}R\\ V=\frac{1}{3}S_底h=\frac{81}{64}R^3=\frac{64}{3}\to R=3\quad OE^2=(\frac{2}{3}R)^2+(\frac{1}{3}R)^2=5\\$$
   $$r_{截\min}^2=R^2-{OE}^2=4\quad S_{\min}=4\pi$$
5. $$R=2\frac{\sqrt 6}{4} \quad OO_1=2\frac{\sqrt6}{12} \quad OE^2={OO_1}^2+ {O_1E}^2\\ \overrightarrow{O_1E}=\frac{2}{3} \overrightarrow{O_1B}+ \frac{1}{3} \overrightarrow{O_1D}\to O_1E=\sqrt{\frac{4}{9}}\\ OE^2=\frac{11}{18}\quad r_{截\min}^2=R^2-{O_1E}^2=\frac{8}{9} \quad S_{\min}=\frac{8}{9}\pi$$
6. $$r_1=r_2=2~~l=2\sqrt3\to R^2=4+4-\frac{({2\sqrt3})^2} {4}=5\\$$

   第二个建系容易得到结论； $AE=\sqrt7$,故最大值不可能为$\sqrt5$; 则$F$点轨迹为过$E$点且垂直于$AC$的平面与该四面体的交线，为一个等腰直角三角形，轨迹长度为$1+\frac{\sqrt{2}}{2}$;