正方体，长方体

1. 已知正三棱锥$P-ABC$，点$P,A,B,C$都在半径为$\sqrt3$的球面上，若$PA,PB,PC$两两相互垂直，求球心到截面的距离。¹
2. 已知底面边长为1，侧棱长为$\sqrt{2}$的正四棱柱的各顶点均在同一个平面上，求该球的体积。²
3. 已知三棱锥$P-ABC$中，$AB=PC=10,AC=PB=2\sqrt{34},BC=PA=2\sqrt{41}$，求该四面体外接球表面积。
4. 已知长方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$的8个顶点都在球$O$的表面上，$E$为$AB$的中点，$CE=3$，$\cos \angle ACE=\frac{5 \sqrt{3}}{9}$，且四边形$ABB_1A_1$为正方形，求该球的直径。
5. 已知三棱锥$P-ABC$的四个顶点在球$O$的球面上，$PA=PB=PC$，$\triangle ABC$是边长为$2$的正三角形，$E,F$分别是$PA,AB$的中点，$\angle CEF=90\degree$，求球$O$的体积。³

柱体

1. 已知一三棱柱的侧棱垂直于底面，所有的棱长都为$a$，顶点都在一个球面上，求该球的表面积。
2. 已知一六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面，且其顶点都在同一个球面上，六棱柱体积为$\frac{9}{8}$，底面周长为3，求该球的体积。
3. 已知$P,A,B,C$是球O表面上的点，$PA\bot ABC$，$AB\bot BC$，$PA=AB=1$，$BC=\sqrt2$，求该球的表面积。
4. 已知球$O$为三棱锥$P-ABC$的外接球，$\triangle ABC$为边长为1的等边三角形，$PA=2$，$PC=\sqrt 5$，且$PA\bot BC$，求球$O$的表面积。⁴
5. 已知正三棱柱的体积为$3\sqrt3$，所有的顶点都在球$O$的表面上，求球$O$的表面积的最小值。
6. 已知四面体$A-BCD$中，若$AD=DC=AB=CB=1$，则当四面体$A-BCD$的体积最大时，求其外接球的表面积。
7. 已知圆柱的高为1，它的两个底面、的圆周在直径为2的同一个球的球面上，求该圆柱的体积。⁵
8. 在封闭的直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$内有一个体积为$V$的球，若$AB\bot BC$，$AB=6$，$BC=8$，$AA_1=8$，求$V$的最大值。⁶
9. 在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$AA_1\bot$平面$ABC$，记$\triangle ABC$和四边形$ACC_1A_1$的外接圆圆心分别是$O_1,O_2$，若$AC=2$，三棱柱外接球体积为$\frac{32\pi}{3}$，求$O_1O_2$和${O_1A}^2+{O_2A}^2$的值。

正棱锥

1. 已知一正三棱锥的4个顶点都在半径为1的球面上，其中底面3个顶点都在该球的一个大圆上，求该三棱锥的体积。
2. 表面积为$2\sqrt3$的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，求此球的体积。
3. 已知一正三棱锥的4个顶点都在同一球面上，其中棱锥的底面边长为$4\sqrt{3}$，侧棱与侧棱所成角余弦值为$\frac{1}{4}$，求该球的表面积。
4. 已知$ABCD-A_1B_1C_1D_1$是边长为1的正方体，$S-ABCD$是落在其外部的高为1的正四棱锥，若点$S,A_1,B_1,C_1,D_1$在同一个球面上，求该球的表面积。
5. 一个棱长为5的正四面体纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动，求小正四面体的棱长的最大值。

圆锥

1. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，求圆锥内半径最大的球的体积。⁷
2. 已知圆锥底面有半径为1，高为$\sqrt 2$，其中有一个内接正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$，其中$A,B,C,D$四点在圆锥底面上，$A_1,B_1,C_1,D_1$在圆锥侧面上，求这个正方体的棱长。⁸
3. 已知圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥内切球的表面积是圆锥底面积的几倍？⁹
4. 已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，且圆锥底面是这个球面面积的$\frac{3}{16}$，则这两个圆锥中，求体积较小者的高与体积较大者的高的比值。¹⁰

一般分析

1. 已知高为$\sqrt 2$的四棱锥$S-ABCD$的底面是边长为1的正方形，点$S,A,B,C,D$均在半径为1的同一个球面上，求底面$ABCD$的中心与顶点$S$之间的距离。¹¹
2. 已知高为$\frac{\sqrt 2}{4}$的四棱锥$S-ABCD$的底面是边长为1的正方形，点$S,A,B,C,D$均在半径为1的同一个球面上，求底面$ABCD$的中心与顶点$S$之间的距离。¹²
3. 已知三棱锥$P-ABC$的所有顶点都在球$O$的球面上，$\triangle ABC$是边长为1的正三角形，$PC$为球$O$的直径，且直径为2，求该棱锥的体积。¹³
4. 已知球的直径$SC=4$，$A,B$是该球面上的两点，$AB=\sqrt3$，$\angle ASC=\angle BSC=30\degree$，求该棱锥的体积。¹⁴
5. 已知在三棱锥$P-ABC$中，$\triangle PAB$和$\triangle ABC$都是边长为2的等边三角形，且$PAB \bot ABC$，求该三棱锥的外接球的表面积。
6. 已知三棱锥$A-BCD$的四个顶点都在球$O$的表面上，$PA=8,BC=4,PB=PC=AB=AC$，且平面$PBC\bot$平面$ABC$，求球$O$的表面积。
7. 已知在菱形$ABCD$中，$A=60\degree$，$AB=\sqrt 3$，将$\triangle ABD$沿$BD$折起到$\triangle PBD$位置，且二面角$P-BD-C$的大小为$\frac{2\pi}{3}$，求三棱锥的外接球的体积。
8. 已知在三棱锥$A-BCD$中，$\angle ABC=\angle ABD=\angle CBD=60\degree$，$AB=3$，$CB=DB=2$，求此四面体外接球的表面积。

结合截面，交线

1. 已知直四棱柱$ABCD-A_1B_1C_1D_1$的棱长均为2，$\angle BAD=60\degree$，以$D_1$为球心，求以$\sqrt 5$为半径的球面与侧面$BCC_1B_1$的交线长。
2. 已知球$O$的球面上有四点$A,B,C,D$，其中$O,A，B，C$四点共面，$\Delta ABC$是边长为$2\sqrt3$的正三角形，平面$SAB\bot$平面$ABC$，求棱锥$S-ABC$体积的最大值。¹⁵
3. 已知三棱锥$A-BCD$内接于体积为$\frac{16 \pi}{3}$的半球，$BD$为半球底面圆$O$的直径，平面$ABD\bot$平面$BCD$，且$AB=CD=2\sqrt{2}$，求平面$ACD$截半球$O$所得截面面积。¹⁶
4. 已知体积为$\frac{64}{3}$的正四棱锥$P-ABCD$外接球的球心为$O$，其中$O$在四棱锥$P-ABCD$内部，设球的半径为$R$，球心到底面的距离为$\frac{R}{3}$，过$AB$的中点$E$作球$O$的截面，求所得截面面积的最小值。¹⁷
5. 已知球$O$是正四面体$A-BCD$的外接球，$BC=2$，点$E$在线段$BD$上，且$BD=3BE$，过点$E$作球$O$的截面，求所得截面面积的最小值。
6. 已知菱形$ABCD$的边长为2，$\angle ABC=120\degree$，沿对角线$AC$折叠成三棱锥$B_1-ACD$，使得二面角$B_1-AC-D$为直二面角，设$E$为$CD$的中点，$F$为三棱锥$B_1-ACD$表面上的动点，则下列说法正确的有
   • 四面体$B_1-ACD$的外接球的半径为$\sqrt 5$；
   • $B_1 C$与$AE$所成角的$\theta\in(0,\frac{\pi}{3})$；
   • 线段$EF$的最大值为$\sqrt 5$；
   • 若$AC\bot EF$，则点$F$轨迹的长度为$1+\frac{\sqrt 2}{2}$。

Footnotes

1. 辽宁 12 理 12 ↩

2. 陕西 14 理 5 ↩

3. 全国1 19 理 12 ↩

4. 一中 23届 强基训练1 9 ↩

5. 全国3 17 理 8 文 9 ↩

6. 全国3 16 理 10 文 11 ↩

7. 全国3 20 理 15 文 16 ↩

8. 一中 23届 强基训练2 7 ↩

9. 一中 23届 强基训练3 7 ↩

10. 全国 11 文 16 ↩

11. 重庆 11 理 10 ↩

12. 重庆 16 理 9 ↩

13. 全国1 12 理 11 ↩

14. 辽宁 11 理 12 ↩

15. 一中 23届 强基训练2 9 ↩

16. 一中 23届 高一 六月月考 16 ↩

17. 九中 23届 高一 下学期期中 12 ↩