问题说明
有N件物品和一个容量为V的背包。
第i件物品的重量是w[i]，价值是v[i]。
求解将哪些物品装入背包可使这些物品的重量总和不超过背包容量，
且价值总和最大。
功能说明
本程序用动态规划的思想解决了背包问题，并用了两种算法： 迭代法、递归法。在迭代法中实现了打印背包问题的表格。
代码简述
通过用户输入数据，程序输入检测，动态分配空间，选择算法， 用动态规划的思想求解背包问题。
迭代法：
通过遍历n行W列，迭代每行每列的值，并把最优解放到 n行（在数组中为第n+1行）W列（在数组中为第W+1列）中。
递归法：
通过每次返回前i个物品和承重为j的最优解， 递归计算总背包问题的最优解。
源码示例
#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;
int **T = NULL; // 存储背包问题表格的数组指针
// 返回两个值的最大值int max(int a, int b) { return (a > b) ? a : b;}
// 迭代法，能显示背包问题的表格int packIterative(int n, int W, int *w, int *v) { // 循环遍历n行 for (int i = 1; i <= n; ++i) { // 循环遍历W列 for (int j = 1; j <= W; ++j) { //第i个物品能装下，则比较包括第i个物品和不包括第i个物品，取其最大值 if (w[i] <= j) T[i][j] = max(v[i] + T[i - 1][j - w[i]], T[i - 1][j]);
// 第i个物品不能装下，则递归装i-1个 else T[i][j] = T[i - 1][j]; } } return T[n][W];}
// 递归法，不支持显示背包问题的表格int packRecursive(int n, int W, int *w, int *v) { // 结束条件（初始条件），i或者j为0时最大总价值为0 if (n == 0 || W == 0) { return 0; } // 第i个物品不能装下，则递归装i-1个 if (w[n] > W) { return packRecursive(n - 1, W, w, v); } //第i个物品能装下，则比较包括第i个物品和不包括第i个物品，取其最大值 else { return max(v[n] + packRecursive(n - 1, W - w[n], w, v), packRecursive(n - 1, W, w, v)); }}
// 打印背包问题的表格void printT(int n, int W){ // 打印n行 for (auto i = 0; i <= n; i++) { // 打印行数 cout << i << ":\t";
// 打印W列 for (int w = 0; w <= W; w++) { cout << T[i][w] << "\t"; }
// 换行 cout << endl; }}
int main() { int *w = NULL; // 存储每件物品重量的数组指针 int *v = NULL; // 存储每件物品价值的数组指针 int n; // 物品个数n int W; // 背包总承重W
cout << "---------------- 背包问题 ----------------" << endl; cout << "请输入物品数 n (n>=0) " << endl;
// 输入背包数 cin >> n;
if (cin.fail() || n < 0) { cout << "输入n错误！" << endl; system("pause"); return 0; }
cout << "请输入背包承重量 W (W>=0) " << endl;
// 输入背包承重量 cin >> W;
if (cin.fail() || W < 0) { cout << "输入W错误！" << endl; system("pause"); return 0; }
// 分配空间 // 对w和v分配n+1大小 w = new int[n + 1]; v = new int[n + 1];
// 对T分配n+1行，并初始化为0 T = new int *[n + 1](); // 对T分配W+1列，并初始化为0 for (auto i = 0; i <= n; i++) { T[i] = new int[W + 1](); }
// 输入背包的重量和价值 for (auto i = 1; i <= n; i++) { cout << "请输入第 " << i << " 个物品的重量和价值（用空格隔开）" << endl; cin >> w[i] >> v[i]; if (cin.fail() || w[i] < 0 || v[i] < 0) { cout << "输入错误！" << endl; system("pause"); return 0; } }
cout << "------------------------------------------------" << endl; cout << "请选择算法：" << endl; cout << "【1】迭代法" << endl; cout << "【2】递归法" << endl; cout << "------------------------------------------------" << endl;
int choose;
// 输入算法的选择 cin >> choose; switch (choose) { case 1: { // 迭代法，能显示背包问题的表格 cout << "能装下物品的最大价值为 " << packIterative(n, W, w, v) << endl; cout << "------------------------------------------------" << endl; printT(n, W); break; } case 2: { // 递归法，不支持显示背包问题的表格 cout << "能装下物品的最大价值为 " << packRecursive(n, W, w, v) << endl; break; } default: { cout << "输入错误！" << endl; break; } }
cout << "------------------------------------------------" << endl;
delete w; delete v; for (int i = 0; i <= n; ++i) { delete[] T[i]; } delete[] T;
system("pause"); return 0;}
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