高精度

主要的高精度问题：

• A + B：两个大整数相加
• A - B：两个大整数相减
• A × b：一个大整数乘一个小整数
• A ÷ b：一个大整数除以一个小整数 并不常见高精度相除相乘的问题。 大数的储存大致是相同的

vector<int> A;
string a;
cin >> a;
for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i--) A.push_back(a[i] - '0');
//为了方便计算，都倒着储存

高精度加法

vector<int> add_one(vector<int> &A,vector<int> &B){
    vector<int> C;
    int t = 0;//进位，初始是最后末尾所以没有进位
    for(int i = 0; i < A.size() || i < B.size(); i++){
        if(i < A.size()) t += A[i];
        if(i < B.size()) t += B[i];//进行模拟加法，将两个大数每一位的与后一位的进位加上 
        //进位
        C.push_back(t % 10);
        t /= 10;//t>=10进一位，计算进位
        //cout << t;
    }

    if(t) C.push_back(1);
    cout << t << endl;
    return C;
}

也可以这种写法：
需注意：

• 假设大整数A的位数≥大整数B，不满足要交换参数次序
• 大整数低位存放在数组低地址处，高位存放在数组高地址处
  • 数组地址由低到高（0 → n - 1）
  • 整数位数最左边是高位，最右边是低位（高位→低位）
• 注意处理最高位进位，取数组时反向(n - 1 → 0)遍历，运算时正向(0→n-1)遍历

// C = A + B, A >= 0, B >= 0
vector<int> add_two(vector<int> &A,vector<int> &B){
    if (A.size() < B.size()) return add_two(B,A);

    vector<int> C;
    int t = 0;
    for (int i = 0; i < A.size(); i ++ )
    {
        t += A[i];
        if (i < B.size()) t += B[i];
        C.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }

    if (t) C.push_back(t);
    return C;
}

//很简单

高精度减法

和加法很类似

// C = A - B, 满足A >= B, A >= 0, B >= 0
vector<int> sub(vector<int> &A, vector<int> &B){
    vector<int> C;
    for (int i = 0, t = 0; i < A.size(); i ++ ){
    //t代表借位，为1时表示从高位借了一个单位来，为0时则没有
        t = A[i] - t;
        if (i < B.size()) t -= B[i];//当这个位置上B存在才能减
        C.push_back((t + 10) % 10);//将需要与不需要结尾的情况都包含了
        /*
        t >= 0输出t % 10
        t < 0输出t + 10
        */
        if (t < 0) t = 1;
        else t = 0;
    }

    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();//去除多余的前导0
    //去掉前导0时，注意不能把结果0也去掉，即需要判断C.size() > 1
    return C;
}

假设A和B都是非负大整数，且A≥≥B，可用cmp()模板判断是否满足A≥≥B，不满足交换参数次序即可

// A >= B返回true，否则返回false
bool cmp(vector<int>& A, vector<int>& B) {
    if (A.size() != B.size()) return A.size() > B.size();
    for (int i = A.size() - 1; i >= 0; i--) 
        if (A[i] != B[i])
            return A[i] > B[i];
    return true;
}

高精度乘法

同样的模拟过程，考虑进位是最重要的，以及，在大数乘以0时，记得去除前导零。
模板：

//高精度乘法
vector<int> mul(vector<int> &A, int b){
    vector<int> C;

    int t = 0;//进位
    for (int i = 0; i < A.size() || t != 0; i ++ ){//乘法模拟
        if (i < A.size()) t += A[i] * b;
        C.push_back(t % 10);//原位放入
        t /= 10;//进位
    }

    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();//去除前导零，比如一个大数乘以0

    return C;
}

高精度除法

除法的难度在他是需要从高位开始模拟，商用vector保存，余数用参数r保存，而为了四则运算整体一致，计算后要将结果改为逆序。

vector<int> div(vector<int> &A, int b, int &r)
{
    vector<int> C;
    r = 0;
    for (int i = A.size() - 1; i >= 0; i -- )
    {
        r = r * 10 + A[i];
        C.push_back(r / b);
        r %= b;
    }
    reverse(C.begin(), C.end());
    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
    return C;
}