小知识，大挑战！本文正在参与“程序员必备小知识”创作活动。
国庆假期前面玩了3天，今天开始继续leetcode每日一题吧。
题目
给定一个整数数组，其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 。
设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:
你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。
示例:
输入: [1,2,3,0,2]
输出: 3
解释: 对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]
思路
虽然只是最佳买卖股票时机题目的变形，也肯定是用动态规划，但是确实想了很久也没想出来状态的定义和转移方程。如之前的认知，动态规划的题目，最难在与定义状态，目前做了一些题目下来，发现这方面也没什么特别通用的公式或者技巧，经验比较重要一些，等再做一些题目后，就重新整理一下做过的动态规划题目的状态定义，看看是否会有什么通用的方式。本题是完全看了题解才会做的，不过我也会尽可能用自己的语言把我自己的理解写出来。
状态定义是这样的：定义一个二维数组f[][]代表最大现金收益，买入股票认为是减少现金收益，卖出股票认为是增加现金收益，那么
- f[0][i] 当天持有1支股票
- f[1][i] 当天不持有股票，且下一天冷冻期，即当天卖出了股票
- f[2][i] 当天不持有股票，且下一天不是冷冻期，即当天没有做卖出 我们尝试对3种情况的f[k][i]做一些推导：
- f[0][i]表示当天持有1支股票，那么这一支股票有2种情况：1、昨天就持有，2、今天新买入。这2种情况下，分别对应就是f[0][i] = f[0][i-1]和f[0][i] = f[2][i-1] - prices[i]，所以综合起来
f[0][i] = max(f[0][i-1], f[2][i-1] - prices[i])
- f[1][i]表示当天不持有股票，且下一天冷冻期，即当天卖出了股票。这种情况比较简单，因为当天卖出了股票，那么前一天必然是持有股票的，所以这种情况的状态转移方程就是
f[1][i] = f[0][i-1] + prices[i]
- f[2][i]表示当天不持有股票，且下一天不是冷冻期，即当天没有做卖出。所以也有2种情况：1、昨天持有股票，且下一天冷冻期；2、昨天持有股票，且下一天不是冷冻期，综合起来
f[2][i] = max(f[1][i-1], f[2][i-1])
所以把这3中情况的状态转移方程综合起来就是
f[0][i] = max(f[0][i-1], f[2][i-1] - prices[i])
f[1][i] = f[0][i-1] + prices[i]
f[2][i] = max(f[1][i-1], f[2][i-1])
上述状态转移返程的前提条件是i>=1，那i=0呢？就是初始化的条件，我们再来看上面这3个定义：
- f[0][i]：当天持有1支股票，那么f[0][0]就代表当天买入了股票，所以f[0][0] = -prices[0]
- f[1][i] 当天不持有股票，且下一天冷冻期，即当天卖出了股票，这里是一个难点，因为实际上找不出1种情况来满足这个设定，不过我们可以转换表一下思路，f[1][0]可以看做当天买入且当天卖出了股票（实际不允许，但是可以这么看待），所以f[1][0] = 0
- f[2][i] 当天不持有股票，且下一天不是冷冻期，即当天没有做卖出，所以f[2][0]可以看作当天没有任何操作，即f[2][0] = 0
这样，我们把状态转移方程和状态的初始值都搞定了，不过这类动态规划的题目很多都可以做状态压缩，观察到f[0][i]、f[1][i]、f[1][i]实际上只跟f[0][i-1]、f[1][i-1]、f[1][i-1]有关，所以，我们只要用3个变量来记录f0、f1、f2的值来记录前面一个状态值，这样可以把3个数组的状态控件压缩到3个变量。类似的还有费布那切数列求解时候的状态压缩，这里不做展开。
Java版本代码
class Solution {
public int maxProfit(int[] prices) {
int len = prices.length;
if (len <= 1) {
return 0;
}
int f0 = -prices[0];
// 可以看作在第0天做了当天买卖的操作，收益就是0
int f1 = 0;
int f2 = 0;
for (int i = 1; i < len; i++) {
int temp0 = Math.max(f0, f2 - prices[i]);
int temp1 = f0 + prices[i];
int temp2 = Math.max(f1, f2);
f0 = temp0;
f1 = temp1;
f2 = temp2;
}
return Math.max(f1, f2);
}
}
