依分布收敛的定义细节

1 定义

依分布收敛的定义是这样的：随机变量序列$\{X_n\}_{n=1}^{\infty}$，若它们的累积分布函数cdf序列$\{F_1\}_{n=1}^{\infty}$，与某个随机变量$X$的cdf $F$，满足

在任意$F(x)$的连续点$x$处都成立。则称它们依分布收敛到随机变量$X$，记为$X_n\stackrel{D}\longrightarrow X$。

在这个定义中，有两个极易忽视但又重要的点，一是必须要对应到某个随机变量的cdf，而不是任意一个函数，二是只要求在$F(x)$的连续点处条件成立即可。

接下来，我们分析为何要如此定义。

2 极限函数必须是cdf

考虑$X_n\sim N(0,\sigma_n^2)$，$\sigma_n\to +\infty$，我们有

在任一点$x$处，都有$\Phi(\dfrac{x}{\sigma_n})\to\Phi(0)=\dfrac{1}{2}$，因此，可设$F(x)=\dfrac{1}{2}$，就满足定义中的极限条件。但此时，$F(x)$不是任何随机变量的cdf，因为随机变量的cdf需要满足$\lim\limits_{x\to -\infty}F(x)=0$以及$\lim\limits_{x\to \infty}F(x)=1$。

这一点如何修正？我们只需让序列$\{X_n\}_{n=1}^{\infty}$是依概率有界即可。而在定义中，就要求cdf函数列的极限形式，一定要对应到某个随机变量的cdf。

3 只考虑连续点

回忆cdf的另一个性质：右连续，即$F(x)=F(x+)$。但在依分布收敛的情形中，很可能会出现不满足的情况，如$X_n=X+\dfrac1 n$，易知

若$n\to\infty$，则$F_n(x)\to F(x-)$。若$F$在$x$处不满足左连续，那么不能满足$F_n(x)\to F(x)$，因此在定义中，需将$F$的不连续点排除。

举个具体的例子，如$X_n\sim U_{(0,1/n)}$，则$X_n$在极限时的分布会退化为$X=1$，而$F_n(0)=0$恒成立，但$F(0)=1$，因此对于$x=0$无法满足$F_n(x)\to F(x)$，但$x=0$是$F(x)$的不连续点，因此可以剔除。所以还是认为$X_n\stackrel{D}\longrightarrow X$。