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前言

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自我介绍 ଘ(੭ˊᵕˋ)੭

昵称：海轰

标签：程序猿｜C++选手｜学生

简介：因C语言结识编程，随后转入计算机专业，有幸拿过一些国奖、省奖...已保研。目前正在学习C++/Linux/Python

学习经验：扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语！  

机器学习小白阶段

文章仅作为自己的学习笔记 用于知识体系建立以及复习

知其然 知其所以然！

1.6 行列式按行（列）展开

概念

余子式

在n阶行列式中，把（i，j）元$a_{ij}$所在的第i行和第j列划去后，留下了第n-1阶行列式叫做（i，j）元$a_{ij}$的余子式，记作$M_{ij}$

代数余子式

$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$

举例

四阶行列式$D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} &a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} &a_{23} & a_{24}\\ a_{31} & a_{32} &a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} &a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix}$中（3，2）元$a_{32}$的余子式、代数余子式分别为：$M_{32}=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{24}\\ a_{41} & a_{42} & a_{44}\\ \end{vmatrix}$

有$A_{32}=(-1)^{3+2}M_{32}=-\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{24}\\ a_{41} & a_{42} & a_{44}\\ \end{vmatrix}$

引理

一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除（i，j）元$a_{ij}$外都为0，那么这个行列式等于$a_{ij}$与它都代数余子式的乘积，即$D=a_{ij}A_{ij}$

定理3

行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 $D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+...+a_{in}A_{in}(i = 1,2,...,n)$ 或 $D=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+...+a_{nj}A_{nj}(j = 1,2,...,n)$

推理

内容

行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于0，即 $a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+...+a_{in}A_{jn}=0 , i \neq j$ 或 $a_{1i}A_{1j}+a_{2i}A_{2j}+...+a_{ni}A_{nj}=0,i\neq j$

证明

对于行列式$D=\begin{vmatrix} a_{11} & ... & a_{1n}\\ .& &.\\ .& &.\\ a_{i1} & ... & a_{in}\\ .& &.\\ .& &.\\ a_{j1} & ... & a_{jn}\\ .& &.\\ .& &.\\ a_{n1} & ... & a_{nn}\\ \end{vmatrix}$

依据定理3，我们对第j行进行展开，有$D=a_{j1}A_{j1}+a_{j2}A_{j2}+...+a_{jn}A_{jn}(j = 1,2,...,n)$ 得到$a_{j1}A_{j1}+a_{j2}A_{j2}+...+a_{jn}A_{jn}(j = 1,2,...,n) =\begin{vmatrix} a_{11} & ... & a_{1n}\\ .& &.\\ .& &.\\ a_{i1} & ... & a_{in}\\ .& &.\\ .& &.\\ a_{j1} & ... & a_{jn}\\ .& &.\\ .& &.\\ a_{n1} & ... & a_{nn}\\ \end{vmatrix}$

$a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+...+a_{in}A_{jn}$ 可以理解为第i行的元素替代第j行的元素（$i!=j$时）

得到 $\begin{vmatrix} a_{11} & ... & a_{1n}\\ .& &.\\ .& &.\\ a_{i1} & ... & a_{in}\\ .& &.\\ .& &.\\ a_{i1} & ... & a_{in}\\ .& &.\\ .& &.\\ a_{n1} & ... & a_{nn}\\ \end{vmatrix}$

很明显，有两行成比例（i行和j行相等）

说明$\begin{vmatrix} a_{11} & ... & a_{1n}\\ .& &.\\ .& &.\\ a_{i1} & ... & a_{in}\\ .& &.\\ .& &.\\ a_{i1} & ... & a_{in}\\ .& &.\\ .& &.\\ a_{n1} & ... & a_{nn}\\ \end{vmatrix}=0$ 所以

$a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+...+a_{in}A_{jn}=0 , i \neq j$

另一种情况同理可证

结语

文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程

希望对您有所帮助，如有错误欢迎小伙伴指正～

我是 海轰ଘ(੭ˊᵕˋ)੭

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