一、TSP简介
旅行商问题，即TSP问题（Traveling Salesman Problem）又译为旅行推销员问题、货郎担问题，是数学领域中著名问题之一。假设有一个旅行商人要拜访n个城市，他必须选择所要走的路径，路径的限制是每个城市只能拜访一次，而且最后要回到原来出发的城市。路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值。
TSP的数学模型
二、遗传算法简介
1 引言
2 遗传算法理论
2.1 遗传算法的生物学基础
2.2 遗传算法的理论基础
2.3 遗传算法的基本概念
2.4 标准的遗传算法
2.5 遗传算法的特点
2.6 遗传算法的改进方向
3 遗传算法流程
4 关键参数说明
三、案例及部分源代码
1 案例 35个城市，5个旅行商。找到最小路径。
2 部分源代码
n = 35; %设置城市个数
xy = 10*rand(n,2); %随机产生城市的坐标，实际应用中可以自己输入坐标。主要用以画图，真正起作用的是距离矩阵啦。
salesmen = 5; %设置旅行商的人数
min_tour = 3; %设置每个旅行商至少走过三个城市（除去起始点和终止点的话就是一个城市）
pop_size = 80; %设置种群的个数，必须是8的倍数，因为代码中以 8 做为步骤 2 的分组个数
num_iter = 5e3; %设置迭代总次数， i.e. 5000次
a = meshgrid(1:n); %用以计算距离矩阵。
dmat = reshape(sqrt(sum((xy(a,:)-xy(a',:)).^2,2)),n,n); %计算距离矩阵（欧式距离），可以自己输入。
[opt_rte,opt_brk,min_dist] = mtspof_ga(xy,dmat,salesmen,min_tour, ...
pop_size,num_iter,1,1); %运行代码
function varargout = mtspofs_ga(xy,dmat,salesmen,min_tour,pop_size,num_iter,show_prog,show_res)
% MTSPOFS_GA Fixed Start Open Multiple Traveling Salesmen Problem (M-TSP) Genetic Algorithm (GA)
% Finds a (near) optimal solution to a variation of the "open" M-TSP by
% setting up a GA to search for the shortest route (least distance needed
% for each salesman to travel from the start location to unique individual
% cities without returning to the starting location)
%
% Summary:
% 1. Each salesman starts at the first point, but travels to a unique
% set of cities after that (and none of them close their loops by
% returning to their starting points)
% 2. Except for the first, each city is visited by exactly one salesman
%
% Note: The Fixed Start is taken to be the first XY point
%
% Input:
% xy (float)：城市坐标，可以 2 维或者 3 维。
% dmat (float) 距离矩阵 N X N 维
% salesman (scalar integer) 旅行商个数。
% min_tour (scalar integer) 不包含起始点，每个旅行商最少应该 travel 的数量。
% pop_size (scalar integer) 遗传算法中个体的数量。
% num_iter (scalar integer) 算法一共迭代的次数
% show_prog (scalar logical) 如果等于1，就将迭代过程画出来
% show_res (scalar logical) 如果等于1，就将算法最后的结果展示出来
%
% Output:
% opt_rte (integer array) 输出最优个体的路径基因型
% opt_brk (integer array) 输出最优个体的中断点基因型
% min_dist (scalar float) 最有个体代表的所有旅行商的距离之和。
%
%
% Author: Joseph Kirk
% Email: jdkirk630@gmail.com
% Release: 1.3
% Release Date: 6/2/09
% commenter: zhuo
%检测输入参数，如果某些参数没有输入，那么改段代码就自动帮你加了。
nargs = 8;
for k = nargin:nargs-1
switch k
case 0
xy = 10*rand(40,2); % 设置城市坐标的默认值为 40 个，随机产生 2 维坐标
case 1
N = size(xy,1); %设置城市数目 N = size(xy,1)
a = meshgrid(1:N);
dmat = reshape(sqrt(sum((xy(a,:)-xy(a',:)).^2,2)),N,N); %产生相应的距离矩阵。
case 2
salesmen = 5; %旅行商个数的默认值为 5 个。
case 3
min_tour = 2; %默认每个旅行商至少走 2 个城市
case 4
pop_size = 80;
case 5
num_iter = 5e3;
case 6
show_prog = 1;
case 7
show_res = 1;
otherwise
end
end
%验证输入是否可行，验证原理为城市个数 N 是否和 距离矩阵的 size相等
[N,dims] = size(xy);
[nr,nc] = size(dmat);
if N ~= nr || N ~= nc
error('Invalid XY or DMAT inputs!')
end
n = N - 1; % 除去了起始点
% Sanity Checks 还是验证输入：可以不看
salesmen = max(1,min(n,round(real(salesmen(1)))));
%验证输入的旅行商个数是不是大于1，并且是整数，否则帮你四舍五入改了
min_tour = max(1,min(floor(n/salesmen),round(real(min_tour(1)))));
%验证输入的minTour是不是大于1，并且是整数，否则帮你四舍五入改了
pop_size = max(8,8*ceil(pop_size(1)/8));
%验证输入的个体数是否为8的整数（因为后面的分组8个为一组），否则帮你用ceil函数改了
num_iter = max(1,round(real(num_iter(1))));
%验证输入的迭代次数是否大于1，否则帮改了
show_prog = logical(show_prog(1));
%验证是否为1或0，不然帮你改了，下同。
show_res = logical(show_res(1));
num_brks = salesmen-1; % 设置中断点的个数，下面可以不看。
dof = n - min_tour*salesmen;
addto = ones(1,dof+1);
for k = 2:num_brks
addto = cumsum(addto);
end
cum_prob = cumsum(addto)/sum(addto);
% Initialize the Populations
pop_rte = zeros(pop_size,n); % 所有个体的路径基因型
pop_brk = zeros(pop_size,num_brks); % 所有个体的中断点基因型
for k = 1:pop_size
pop_rte(k,:) = randperm(n)+1; %初始化所有个体的路径基因型。
%这里为什么加 1 呢？因为我们 n=N-1=34 ，因此产生的路径基因型必须在[2，35]中产生。
pop_brk(k,:) = randbreaks(); %产生中断点，函数代码在下方（子函数）
end
% 选择画图时的颜色（不同旅行商的路径画在图上要用不同颜色呀）
clr = [1 0 0; 0 0 1; 0.67 0 1; 0 1 0; 1 0.5 0];
if salesmen > 5
clr = hsv(salesmen);
end
% Run the GA
global_min = Inf;
total_dist = zeros(1,pop_size); %每个个体的总距离构成的 1X80 维的向量
dist_history = zeros(1,num_iter); %每一次迭代个数中最优个体的总距离构成的 1X5000 维的向量。
tmp_pop_rte = zeros(8,n); %暂时变量，用完就丢。用于产生新个体的，（路径的基因型）
tmp_pop_brk = zeros(8,num_brks); %同上，用于产生新的中断点的基因型
new_pop_rte = zeros(pop_size,n); %新生代的路径基因型，为一个 80X34 的矩阵，每一行代表每一个个体。
new_pop_brk = zeros(pop_size,num_brks); %同上，用于中断点基因型 80X4 的矩阵。
if show_prog
pfig = figure('Name','MTSPOFS_GA | Current Best Solution','Numbertitle','off');
end
for iter = 1:num_iter %计算一次迭代过程中，每一个个体的总距离
for p = 1:pop_size
d = 0;
p_rte = pop_rte(p,:);
p_brk = pop_brk(p,:);
rng = [[1 p_brk+1];[p_brk n]]';
for s = 1:salesmen
d = d + dmat(1,p_rte(rng(s,1))); % 加上起点到第二个城市的距离
%计算路径中城市的总距离：
for k = rng(s,1):rng(s,2)-1
d = d + dmat(p_rte(k),p_rte(k+1));
end
end
total_dist(p) = d; %将每一个个体的距离存入到矩阵中。
end
四、运行结果
五、matlab版本及参考文献
1 matlab版本 2014a
2 参考文献 [1] 包子阳,余继周,杨杉.智能优化算法及其MATLAB实例（第2版）[M].电子工业出版社，2016. [2]张岩,吴水根.MATLAB优化算法源代码[M].清华大学出版社，2017.
