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自我介绍 ଘ(੭ˊᵕˋ)੭

昵称：海轰

标签：程序猿｜C++选手｜学生

简介：因C语言结识编程，随后转入计算机专业，有幸拿过一些国奖、省奖...已保研。目前正在学习C++/Linux/Python

学习经验：扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语！

 

机器学习小白阶段

文章仅作为自己的学习笔记 用于知识体系建立以及复习

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建议查看原文：【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（3）：行列式的性质

1.5 行列式的性质

转置行列式

n阶行列式D： ​ ​$D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} &... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... &a_{2n}\\ . & . & & . \\ . & . & & . \\ a_{n1} & a_{n2} &... & a_{nn}\\ \end{vmatrix}$

令$a_{ij}=a_{ji}$，得到$D^T=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{21} &... & a_{n1}\\ a_{12} & a_{22} & ... &a_{n2}\\ . & . & & . \\ . & . & & . \\ a_{1n} & a_{2n} &... & a_{nn}\\ \end{vmatrix}$

行列式$D^T$称为行列式$D$的转置行列式

性质1

内容

行列式与它的转置行列式相等

证明

设$D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} &... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... &a_{2n}\\ . & . & & . \\ . & . & & . \\ a_{n1} & a_{n2} &... & a_{nn}\\ \end{vmatrix}$，$D^T$为$D$的转置行列式

再设$D^T=\begin{vmatrix} b_{11} & b_{12} &... & b_{1n}\\ b_{21} & b_{22} & ... &b_{2n}\\ . & . & & . \\ . & . & & . \\ b_{n1} & b_{n2} &... & b_{nn}\\ \end{vmatrix}$

又因为 我们知道$D^T=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{21} &... & a_{n1}\\ a_{12} & a_{22} & ... &a_{n2}\\ . & . & & . \\ . & . & & . \\ a_{1n} & a_{2n} &... & a_{nn}\\ \end{vmatrix}$

所以有：$b_{ij}=a_{ji}$

推出 $D^T=\begin{vmatrix} b_{11} & b_{12} &... & b_{1n}\\ b_{21} & b_{22} & ... &b_{2n}\\ . & . & & . \\ . & . & & . \\ b_{n1} & b_{n2} &... & b_{nn}\\ \end{vmatrix}$=$\sum(-1)^tb_{1p_1}b_{2p_2}...b_{np_n}$=$\sum(-1)^ta_{p_11}a_{p_22}...a_{p_nn}$(利用$b_{ij}=a_{ji}$)

又因为

$\sum(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}...a_{np_n}=\sum(-1)^ta_{p_11}a_{p_22}...a_{p_nn}$

所以

证明完成！

性质2

内容

互换行列式的两行（列），行列式变号

证明

设n阶行列式D$D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} &... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... &a_{2n}\\ . & . & & . \\ . & . & & . \\ a_{n1} & a_{n2} &... & a_{nn}\\ \end{vmatrix}$

交换第i、j行

得$D_1$

我们设

$D_1=\begin{vmatrix} b_{11} & b_{12} &... & b_{1n}\\ b_{21} & b_{22} & ... &b_{2n}\\ . & . & & . \\ . & . & & . \\ b_{n1} & b_{n2} &... & b_{nn}\\ \end{vmatrix}$

当$k\neq i,j$时，有$b_{kp}=a_{kp}$ 当$k=i,j$时，有$b_{ip}=a_{jp}$、$b_{jp}=a_{ip}$

简单的说

• 当$k\neq i,j$，也就是不属于交换的那两行，b与a就是完全的对应关系；
• 当$k=i,j$时，就是交换的那两行，b与a行之间的就是相反的，列是一样的

$D_1=\begin{vmatrix} b_{11} & b_{12} &... & b_{1n}\\ b_{21} & b_{22} & ... &b_{2n}\\ . & . & & . \\ . & . & & . \\ b_{n1} & b_{n2} &... & b_{nn}\\ \end{vmatrix}=\sum(-1)^tb_{1p_1}...b_{ip_i}...b_{jp_j}...b_{np_n}=\sum(-1)^ta_{1p_1}...a_{jp_i}...a_{ip_j}...a_{np_n}$

与

$D=\sum(-1)^ta_{1p_1}...a_{ip_i}...a_{jp_j}...a_{np_n}$

对比 发现只交换了行坐标

从1...i...j...n 变成了 1...j...i...n

很明显，和全排列中交换任意两个元素一样，奇偶性会改变 也就是逆序数+1或-1

其实就是在行列式这里就是相当于奇偶性发生一次变化，就是乘了一个-1

所以

$D_1=-D$

证明完成！

性质3

内容

行列式中的某一行（列）中的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式

证明

设行列式$D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} &... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... &a_{2n}\\ . & . & & . \\ . & . & & . \\ a_{n1} & a_{n2} &... & a_{nn}\\ \end{vmatrix}$

假设第i行所有元素同时乘以k，有

$D_1=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} &... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... &a_{2n}\\ . & . & & . \\ a_{i1}*k & a_{i2}*k& . & a_{in}*k\\ . & . & & . \\ a_{n1} & a_{n2} &... & a_{nn}\\ \end{vmatrix}$

化简

$D_1=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} &... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... &a_{2n}\\ . & . & & . \\ a_{i1}*k & a_{i2}*k& . & a_{in}*k\\ . & . & & . \\ a_{n1} & a_{n2} &... & a_{nn}\\ \end{vmatrix}=\sum(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}...k*a_{ip_i}...a_{np_n}=k*\sum(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}...a_{ip_i}...a_{np_n}$

证明完成！

同理，列的情形也是一样的

性质4

内容

行列式中如果有两行（列）元素成比列，则此行列式等于0

证明

设行列式$D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} &... & a_{1n}\\ . & . & & . \\ a_{i1} & a_{i2} & ... &a_{in}\\ . & . & & . \\ a_{j1} & a_{j2} & ... &a_{jn}\\ . & . & & . \\ a_{n1} & a_{n2} &... & a_{nn}\\ \end{vmatrix}$

其中第i行元素与第j行元素成比例，也就是$a_{jp}=k*a_{jp}$

$D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} &... & a_{1n}\\ . & . & & . \\ a_{i1} & a_{i2} & ... &a_{in}\\ . & . & & . \\ a_{j1} & a_{j2} & ... &a_{jn}\\ . & . & & . \\ a_{n1} & a_{n2} &... & a_{nn}\\ \end{vmatrix} =\sum(-1)^ta_{1p_1}...a_{ip_i}...a_{jp_j}...a_{np_n}$

因为$a_{jp}=k*a_{jp}$

所以

$\sum(-1)^ta_{1p_1}...a_{ip_i}...a_{jp_j}...a_{np_n}=\sum(-1)^ta_{1p_1}...a_{ip_i}...k*a_{ip_i}...a_{np_n}=k*\sum(-1)^ta_{1p_1}...a_{ip_i}...a_{ip_i}...a_{np_n}=D$

如果此时对换第i行与第j行

行列式$D$依然不会发生变化

因为对换后，D还是原来的值

$k*\sum(-1)^ta_{1p_1}...a_{ip_i}...a_{ip_i}...a_{np_n}=D$（对换后 其实和原来一样）

但是因为任意两行互换后，一定会发生变号，变为-D

综上，有

$D=-D$

得到

$D=0$

证明完成！

性质5

内容

若行列式中的某一行（列）的元素都是两数之和，例如第i列的元素都是两数之和

$D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} &...&(a_{1i}+b_{1i})&... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... &(a_{2i}+b_{2i})&...&a_{2n}\\ . & . & & . \\ . & . & & . \\ . & . & & . \\ a_{n1} & a_{n2} &... &(a_{ni}+b_{ni})&...& a_{nn}\\ \end{vmatrix}$ ​ 则

$D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} &...&a_{1i}&... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... &a_{2i}&...&a_{2n}\\ . & . & & . \\ . & . & & . \\ . & . & & . \\ a_{n1} & a_{n2} &... &a_{ni}&...& a_{nn}\\ \end{vmatrix} +\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} &...&b_{1i}&... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... &b_{2i}&...&a_{2n}\\ . & . & & . \\ . & . & & . \\ . & . & & . \\ a_{n1} & a_{n2} &... &b_{ni}&...& a_{nn}\\ \end{vmatrix}$

证明

$D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} &...&(a_{1i}+b_{1i})&... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... &(a_{2i}+b_{2i})&...&a_{2n}\\ . & . & & . \\ . & . & & . \\ . & . & & . \\ a_{n1} & a_{n2} &... &(a_{ni}+b_{ni})&...& a_{nn}\\ \end{vmatrix} =\sum(-1)^ta_{1p_1}...(a_{ip_i}+b_{ip_i})...a_{np_n} \\=\sum(-1)^t(a_{1p_1}...a_{ip_i}...a_{np_n}+a_{1p_1}...b_{ip_i}...a_{np_n})\\=\sum(-1)^ta_{1p_1}...a_{ip_i}...a_{np_n}+\sum(-1)^ta_{1p_1}...b_{ip_i}...a_{np_n}\\=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} &...&a_{1i}&... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... &a_{2i}&...&a_{2n}\\ . & . & & . \\ . & . & & . \\ . & . & & . \\ a_{n1} & a_{n2} &... &a_{ni}&...& a_{nn}\\ \end{vmatrix} +\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} &...&b_{1i}&... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... &b_{2i}&...&a_{2n}\\ . & . & & . \\ . & . & & . \\ . & . & & . \\ a_{n1} & a_{n2} &... &b_{ni}&...& a_{nn}\\ \end{vmatrix}$

证明完成！

性质6

内容

把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一个数然后再加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变

证明

设行列式$D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} &... & a_{1n}\\ . & . & & . \\ a_{i1} & a_{i2} & ... &a_{in}\\ . & . & & . \\ a_{j1} & a_{j2} & ... &a_{jn}\\ . & . & & . \\ a_{n1} & a_{n2} &... & a_{nn}\\ \end{vmatrix}$

对第j行乘以k，再加到第i行，得到

$D_1=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} &... & a_{1n}\\ . & . & & . \\ a_{i1}+k*a_{j1} & a_{i2}+k*a_{j2} & ... &a_{in}+k*a_{jn}\\ . & . & & . \\ a_{j1} & a_{j2} & ... &a_{jn}\\ . & . & & . \\ a_{n1} & a_{n2} &... & a_{nn}\\ \end{vmatrix}$

由性质5得

$D_1=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} &... & a_{1n}\\ . & . & & . \\ a_{i1}+k*a_{j1} & a_{i2}+k*a_{j2} & ... &a_{in}+k*a_{jn}\\ . & . & & . \\ a_{j1} & a_{j2} & ... &a_{jn}\\ . & . & & . \\ a_{n1} & a_{n2} &... & a_{nn}\\ \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} &... & a_{1n}\\ . & . & & . \\ a_{i1} & a_{i2} & ... &a_{in}\\ . & . & & . \\ a_{j1} & a_{j2} & ... &a_{jn}\\ . & . & & . \\ a_{n1} & a_{n2} &... & a_{nn}\\ \end{vmatrix} +\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} &... & a_{1n}\\ . & . & & . \\ k*a_{j1} & k*a_{j2} & ... &k*a_{jn}\\ . & . & & . \\ a_{j1} & a_{j2} & ... &a_{jn}\\ . & . & & . \\ a_{n1} & a_{n2} &... & a_{nn}\\ \end{vmatrix}$

由性质4得

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} &... & a_{1n}\\ . & . & & . \\ k*a_{j1} & k*a_{j2} & ... &k*a_{jn}\\ . & . & & . \\ a_{j1} & a_{j2} & ... &a_{jn}\\ . & . & & . \\ a_{n1} & a_{n2} &... & a_{nn}\\ \end{vmatrix} =0$

所以$D_1=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} &... & a_{1n}\\ . & . & & . \\ a_{i1}+k*a_{j1} & a_{i2}+k*a_{j2} & ... &a_{in}+k*a_{jn}\\ . & . & & . \\ a_{j1} & a_{j2} & ... &a_{jn}\\ . & . & & . \\ a_{n1} & a_{n2} &... & a_{nn}\\ \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} &... & a_{1n}\\ . & . & & . \\ a_{i1} & a_{i2} & ... &a_{in}\\ . & . & & . \\ a_{j1} & a_{j2} & ... &a_{jn}\\ . & . & & . \\ a_{n1} & a_{n2} &... & a_{nn}\\ \end{vmatrix}=D$

证明完成！

结语

说明：

• 参考于 课本《线性代数》第五版 同济大学数学系编
• 配合书中概念讲解 结合了自己的一些理解及思考

文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程

希望对您有所帮助，如有错误欢迎小伙伴指正～

我是 海轰ଘ(੭ˊᵕˋ)੭

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