第十章 二叉树及递归问题讲解

10.1 数和二叉树数据结构复习

10.1.1 树（Tree）

树是一种非线性的数据结构，是由n（n >=0）个结点组成的有限集合。

如果n==0，树为空树。如果n>0，树有一个特定的结点，叫做根结点（root）。根结点只有直接后继，没有直接前驱。

除根结点以外的其他结点划分为m（m>=0）个互不相交的有限集合，T0，T1，T2，...，Tm-1，每个集合都是一棵树，称为根结点的子树（sub tree）。

下面是一些其它基本概念：

节点的度：节点拥有的子树个数

叶子节点（leaf）：度为0的节点，也就是没有子树的节点

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树的高度：树中节点的最大层数，也叫做树的深度

10.1.2 二叉树（Binary Tree）

对于树这种数据结构，使用最频繁的是二叉树。

每个节点最多只有2个子节点的树，叫做二叉树。二叉树中，每个节点的子节点作为根的两个子树，一般叫做节点的左子树和右子树。

（1）二叉树的性质

二叉树有以下性质：

若二叉树的层次从0开始，则在二叉树的第i层至多有2^i个结点(i>=0)

高度为k的二叉树最多有2^(k+1) - 1个结点(k>=-1)(空树的高度为-1)

对任何一棵二叉树，如果其叶子结点(度为0)数为m, 度为2的结点数为n, 则m = n + 1

（2）满二叉树和完全二叉树

满二叉树：除了叶子节点外，每个节点都有两个子节点，每一层都被完全填充。

完全二叉树：除了最后一层外，每一层都被完全填充，并且最后一层所有节点保持向左对齐。

10.1.3 递归（Recursion）

对于树结构的遍历和处理，最为常用的代码结构就是递归（Recursion）。

递归是一种重要的编程技术，该方法用来让一个函数（方法）从其内部调用其自身。一个含直接或间接调用本函数语句的函数，被称之为递归函数。

递归的实现有两个必要条件：

必须定义一个“基准条件”，也就是递归终止的条件。在这种情况下，可以直接返回结果，无需继续递归

在方法中通过调用自身，向着基准情况前进

一个简单示例就是计算阶乘：0 的阶乘被特别地定义为 1；n的阶乘可以通过计算 n-1的阶乘再乘以n来求得的。

代码如下：

// 递归示例：计算阶乘

public static int factorial(int n){

    if ( n == 0 ) return 1;

    return factorial(n - 1) * n;

}

// 尾递归计算阶乘，需要多一个参数保存“计算状态”

public static int fact(int acc, int n){

    if ( n == 0 ) return acc;

    return fact( acc * n, n - 1 );

}

上面的第二种实现，把递归调用置于函数的末尾，即正好在return语句之前，这种形式的递归被称为尾递归 (tail recursion)，其形式相当于循环。一些语言的编译器对于尾递归可以进行优化，节约递归调用的栈资源。

10.1.4 二叉树的遍历

中序遍历：即左-根-右遍历，对于给定的二叉树根，寻找其左子树；对于其左子树的根，再去寻找其左子树；递归遍历，直到寻找最左边的节点i，其必然为叶子，然后遍历i的父节点，再遍历i的兄弟节点。随着递归的逐渐出栈，最终完成遍历

先序遍历：即根-左-右遍历

后序遍历：即左-右-根遍历

层序遍历：按照从上到下、从左到右的顺序，逐层遍历所有节点。

用递归可以很容易地实现二叉树的先序、中序、后序遍历：

// 遍历二叉树1：先序遍历

public static void printTreePreOrder( TreeNode root ){

    if (root == null) return;

    System.out.print(root.val + "\t"); 

    printTreePreOrder( root.left ); 

    printTreePreOrder( root.right ); 

}

// 遍历二叉树2：中序遍历

public static void printTreeInOrder( TreeNode root ){

    if (root == null) return;

    printTreeInOrder( root.left ); 

    System.out.print(root.val + "\t"); 

    printTreeInOrder( root.right ); 

}

// 遍历二叉树3：后序遍历

public static void printTreePostOrder( TreeNode root ){

    if (root == null) return;

    printTreePostOrder( root.left ); 

    printTreePostOrder( root.right ); 

    System.out.print(root.val + "\t"); 

}

层序遍历，则需要借助一个队列：要访问的节点全部放到队列里。当访问一个节点时，就让它的子节点入队，依次访问。

public static void printTreeLevelOrder( TreeNode root ){

    Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();

    queue.offer(root);

    while ( !queue.isEmpty() ){

        TreeNode curNode = queue.poll();

        System.out.print(curNode.val + "\t"); 

        if ( curNode.left != null )

            queue.offer(curNode.left);

        if ( curNode.right != null )

            queue.offer(curNode.right);

    }

}

10.1.5 二叉搜索树（Binary Search Tree）

二叉搜索树也称为有序二叉查找树，满足二叉查找树的一般性质，是指一棵空树具有如下性质：

任意节点左子树如果不为空，则左子树中节点的值均小于根节点的值

任意节点右子树如果不为空，则右子树中节点的值均大于根节点的值

任意节点的左右子树，也分别是二叉搜索树

没有键值相等的节点

基于二叉搜索树的这种特点，在查找某个节点的时候，可以采取类似于二分查找的思想，快速找到某个节点。n 个节点的二叉查找树，正常的情况下，查找的时间复杂度为 O(logN)。

二叉搜索树的局限性

一个二叉搜索树是由n个节点随机构成，所以，对于某些情况，二叉查找树会退化成一个有n个节点的线性链表。

10.1.6 平衡二叉搜索树（AVL树）

通过二叉搜索树的分析我们发现，二叉搜索树的节点查询、构造和删除性能，与树的高度相关，如果二叉搜索树能够更“平衡”一些，避免了树结构向线性结构的倾斜，则能够显著降低时间复杂度。

平衡二叉搜索树：简称平衡二叉树。由前苏联的数学家Adelse-Velskil和Landis在1962年提出的高度平衡的二叉树，根据科学家的英文名也称为AVL树。

它具有如下几个性质：

可以是空树

假如不是空树，任何一个结点的左子树与右子树都是平衡二叉树，并且高度之差的绝对值不超过1

平衡的意思，就是向天平一样保持左右水平，即两边的分量大约相同。如定义，假如一棵树的左右子树的高度之差超过1，如左子树的树高为2，右子树的树高为0，子树树高差的绝对值为2就打破了这个平衡。

比如，依次插入1，2，3三个结点后，根结点的右子树树高减去左子树树高为2，树就失去了平衡。我们希望它能够变成更加平衡的样子。

AVL树是带有平衡条件的二叉搜索树，它是严格的平衡二叉树，平衡条件必须满足(所有节点的左右子树高度差不超过1)。不管我们是执行插入还是删除操作，只要不满足上面的条件，就要通过旋转来保持平衡，而旋转是非常耗时的。旋转的目的是为了降低树的高度，使其平衡。

使用场景

AVL树适合用于插入删除次数比较少，但查找多的情况。也在Windows进程地址空间管理中得到了使用。

10.1.7 红黑树（Red-Black Tree）

红黑树是一种特殊的二叉查找树。红黑树的每个节点上都有存储位表示节点的颜色，可以是红(Red)或黑(Black)。

性质：

节点是红色或黑色

根节点是黑色

每个叶子节点都是黑色的空节点（NIL节点）。

每个红色节点的两个子节点都是黑色（从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色节点）

从任一节点到其每个叶子的所有路径都包含相同数目的黑色节点

在插入一个新节点时，默认将它涂为红色（这样可以不违背最后一条规则），然后进行旋转着色等操作，让新的树符合所有规则。

红黑树也是一种自平衡二叉查找树，可以认为是对AVL树的折中优化。

使用场景

红黑树多用于搜索,插入,删除操作多的情况下。红黑树应用比较广泛：

广泛用在各种语言的内置数据结构中。比如C++的STL中，map和set都是用红黑树实现的。Java中的TreeSet，TreeMap也都是用红黑树实现的。

著名的linux进程调度Completely Fair Scheduler，用红黑树管理进程控制块。

epoll在内核中的实现，用红黑树管理事件块

nginx中，用红黑树管理timer等

10.1.8 B树（B-Tree）

B树(B-Tree)是一种自平衡的树，它是一种多路搜索树（并不是二叉的），能够保证数据有序。同时，B树还保证了在查找、插入、删除等操作时性能都能保持在O(logn)，为大块数据的读写操作做了优化，同时它也可以用来描述外部存储。

特点：

定义任意非叶子结点最多只有M个儿子；且M>2

根结点的儿子数为[2, M]

除根结点以外的非叶子结点的儿子数为[M/2, M]

每个结点存放至少M/2-1（取上整）和至多M-1个关键字；（至少2个key）

非叶子结点的关键字个数 = 指向儿子的指针个数 – 1

非叶子结点的关键字：K[1], K[2], …, K[M-1]；且K[i] < K[i+1]

非叶子结点的指针：P[1], P[2], …, P[M]，其中P[1]指向关键字小于K[1]的子树，P[M]指向关键字大于K[M-1]的子树，其它P[i]指向关键字属于(K[i-1], K[i])的子树

所有叶子结点位于同一层

M = 3的B树

10.1.9 B+树

B+树是B-树的变体，也是一种多路搜索树。

B+的搜索与B-树也基本相同，区别是B+树只有达到叶子结点才命中（B-树可以在非叶子结点命中），其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找。

B+的特性：

所有关键字都出现在叶子结点的链表中（稠密索引），且链表中的关键字恰好是有序的

不可能在非叶子结点命中

非叶子结点相当于是叶子结点的索引（稀疏索引），叶子结点相当于是存储（关键字）数据的数据层

更适合文件索引系统

B+ 树的优点：

层级更低，IO 次数更少

每次都需要查询到叶子节点，查询性能稳定

叶子节点形成有序链表，范围查询方便。这使得B+树方便进行“扫库”，也是很多文件系统和数据库底层选用B+树的主要原因。