回文十进制数

如果把某个数的各个数字按相反的顺序排列，得到的数和原来的数相同，则这个数就是“回文数”。譬如 123454321就是一个回文数。

问题

求用十进制、二进制、八进制表示都是回文数的所有数字中，大于十进制数 10 的最小值。

十进制数、二进制数和八进制数数示例

思路

因为是二进制的回文数，所以如果最低位是 0，那么相应的最高位也就是 0。但是，以 0 开头肯定是不恰当的，由此可知最低位置为 1。

如果用二进制表示时最低位为 1，那这个数一定是奇数，因此只考虑奇数的情况就可以。接下来可以简单地编写程序，从 10 的下一个数字 11 开始，按顺序搜索。比如用 Ruby 就可以通过下面的代码找到符合条件的数（代码清单 01.01）。

代码清单 01.01（q01_01.rb）

# 从 11 开始搜索
num = 11
while true
 			if num.to_s == num.to_s.reverse &&
 					num.to_s(8) == num.to_s(8).reverse &&
 					num.to_s(2) == num.to_s(2).reverse
			 puts num
			 break
	 end
 		# 只搜索奇数，每次加 2
		 num += 2
end

下面试着用 JavaScript 实现同样的逻辑。JavaScript 里没有内置把字符串逆序的标准函数，因此首先需要封装一个返回逆序字符串的方法，其他流程则和代码清单 01.01 中的一致。JavaScript 版本的实现如代码清单 01.02 所示。

代码清单 01.02（q01_02.js）

/* 为字符串类型添加返回逆序字符串的方法 */
String.prototype.reverse = function (){
		 return this.split("").reverse().join("");
}
/* 从 11 开始搜索 */
var num = 11;
while (true){
			 if ((num.toString() == num.toString().reverse()) &&
 						(num.toString(8) == num.toString(8).reverse()) &&
					  (num.toString(2) == num.toString(2).reverse())){
			 console.log(num);
			 break;
		 }
		 /* 只搜索奇数，每次加 2 */
		 num += 2;
}

Point

很多语言都提供了把整数转换成二进制数或者八进制数的方法法。表 2 汇总了代表性语言的相关函数或者方法，不过 C 语言并没有提供直接转换的接口

各编程语言中进制转换的接口

答案

二进制数是 1001001001
八进制数是 1111

数列的四则运算

大家小时候可能也玩过“组合车牌号里的 4 个数字最终得到 10”的游戏。

组合的方法是在各个数字之间插入四则运算的运算符组成算式，然后计算算式的结果（某些数位之间可以没有运算符，但最少要插入 1 个运算符）。

例）1234 → 1＋ 2×3 - 4＝ 3
9876 → 9×87＋ 6＝ 789

假设这里的条件是，组合算式的计算结果为“将原数字各个数位上的数逆序排列得到的数”，并且算式的运算按照四则运算的顺序进行（先乘除，后加减）。

那么位于 100~999，符合条件的有以下几种情况。

351　→　3×51＝ 153
621　→　6×21＝ 126
886　→　8×86＝ 688

问题

求位于 1000~9999，满足上述条件的数。

思路

解决这个问题时，“计算机的方法”会影响实现方法。如果要实现在的是计算器，那么通常会用到逆波兰表示法 A，而本题则是使用英语言语内置的功能来实现更为简单。

很多脚本语言都提供了类似 eval 这羊的标准函数。譬如用JavaScript 实现时，可以用代码清单 02.01 解决问题。

var op = ["+", "-", "*", "/", ""];
for (i = 1000; i < 10000; i++){
 		var c = String(i);
		for (j = 0; j < op.length; j++){
			  for (k = 0; k < op.length; k++){
 			  for (l = 0; l < op.length; l++){
					 val = c.charAt(3) + op[j] + c.charAt(2) + op[k] +
							 c.charAt(1) + op[l] + c.charAt(0);
			 if (val.length > 4){ /* 一定要插入 1 个运算符 */
				 if (i == eval(val)){
						 console.log(val + " = " + i);
					 }
				 }
			 }
		 }
	 }
}

第 10 行中的 eval 就是本题的关键点，接下来只是选择和设置运算符了。虽然有比较深的循环嵌套，但只要确定了位数就没有问题。

逆波兰表示法（Reverse Polish notation，RPN）也称逆波兰记法，是由波兰数学家扬·武卡谢维奇与于 1920 年引入的数学表达式，在逆波兰记法中，所有操作符置于操作数的后面，因此也被称为后缀表示法。——编者注

基于这样的考虑，如果把代码第 1 行的 op 变量设置成以下值，可以进一步提高程序执行效率。

var op = ["*", ""];

Point

如果用其他语言实现同样逻辑，需要对 0 进行特别处理。例如在Ruby 中，“以 0 开头的数”会被当作八进制数来处理，因此必须排除以0 开头的数。此外，也需要排除除数为 0 的情况。

答案

5931（5 * 9 * 31 ＝ 1395）

最后

Ruby 为主要语言编写源代码，但也有像本题一样用JavaScript 实现的情况。凡用 JavaScript 实现时，结果都用 console.log 来输出，这个结果可以用浏览器来确认。用 Mozilla Firefox 浏览器打开加载了 JavaScript 源代码的 HTML 文件，然后打开“开发者”→“Web控制台”（如果用 Google Chrome 浏览器，则是打开“更多工具”→“开发者工具”），就可以确认代码的执行结果了。

程序员的算法趣题——入门篇

回文十进制数

Point

数列的四则运算

最后